그래프의 선택성을 낮추기 위해 몇 가지 뚜렷한 색상이 필요합니까?

그래프이다 -choosable (라고도 -list-착색성 모든 기능에 대해, 경우) 의 세트에 정점을 매핑 색 컬러 과제가 그러한 모든 정점은 해당 , , 및 모든 에지가 그 , . $k$ $k$ $f$ $k$ $c$ $v$ $c(v)\in f(v)$ $vw$ $c(v)\ne c(w)$

이제 그래프 $G$ 가 $k$ 선택 가능 하지 않다고 가정 하십시오. 즉, 유효한 색상 할당이없는 정점에서 색상의 튜플 까지 함수 가 있습니다 . 내가 알고 싶은 것은 총 몇 개의 색상이 필요한가? 는 얼마나 작을 수 있습니까? 고유 한 색만 사용 하는 채색 할 수없는 를 찾을 수 있도록 숫자 ( 와 무관 있습니까? $f$ $k$ $c$ $\cup_{v\in G}f(v)$ $N(k)$ $G$ $f$ $N(k)$

CS에 연관성이 있다면 즉, 존재, 우리는 테스트 할 전율 -choosability를 단지 모든 시도 (단독 지수 시간 선택할 및 각각의 시간에 시간에 색상을 지정할 수 있는지 확인하십시오. 그렇지 않으면 과 같이 더 빠르게 성장하는 것이 필요할 수 있습니다. $N(k)$ $k$ $k$ $\binom{N(k)}{k}^n$ $f$ $k^n n^{O(1)}$ $n^{kn}$

— 데이비드 엡스타인
소스

N (k)> 2k-1 일 때 예가 있습니까?

— Yaroslav Bulatov

내 첫 번째 생각은 이분 그래프가 임의로 높은 목록 색수를 가질 수있는 표준 예에서 필요한 색상 수를 낮추는 것입니다. 그러나이 구성의 목록에있는 색상의 수는 달성 된 에 대해 지수 적 입니다. 그러나 하한을 증명하는 데 충분한 시간이 걸리지 않았습니다 (그래도 대답은 아닙니다 ...).

k

$k$

— 데릭 스토리

MathOverflow에서도이 훌륭한 질문을 게시 할 가치가 있습니다 ...

— François G. Dorais

여기서 Corollary 1.4에서 을 설정 하면 질문의 적어도 일부에 대답합니까?

k = 1

$k=1$

— Aaron Sterling

@Aaron : 무슨 말인지 잘 모르겠습니다. 그 수표에 k = 1을 설정하면 선택 수는 최대 색도 수에 로그 요소를 곱한 것입니다. 그러나 그 선택 번호에 몇 가지 뚜렷한 색상이 필요한지에 대해서는 많이 말하지 않는 것 같습니다.

— David Eppstein

답변:

Daniel Král과 Jiří Sgall은 귀하의 질문에 부정적인 답변을하였습니다. 그들의 논문의 요약에서 :

그래프 것으로 알려져있다 의 정점은 임의의 나열로 착색 될 수 있으면 -choosable 와 , 모든 및 . 각각의 에 대해 -choosable이지만 -choosable이 아닌 그래프 를 구성합니다 . $G$ $(k,\ell)$ $L(v)$ $|L(v)| \ge k$ $v\in V(G)$ $|\bigcup_{v\in V(G)} L(v)| \le \ell$ $3 \le k \le \ell$ $G$ $(k,\ell)$ $(k,\ell+1)$

따라서 경우 는 존재하지 않습니다 . Král과 Sgall은 또한 임을 보여줍니다 . 물론 입니다. $N(k)$ $k\ge 3$ $N(2)=4$ $N(1)=1$

Daniel Král, Jiří Sgall : 제한된 범위의 조합을 가진 목록의 컬러 그래프 . 그래프 이론의 전표 49 (3) : 177-186 (2005)

— 서지 가스 퍼
소스

와. 이것은 부정적이지만 질문을 해결합니다. @Serge 감사합니다! 그리고 나는 Daniel과 Jiří에게도 감사를 전할 수 있기를 바랍니다!

— Hsien-Chih Chang 張顯之

나는 또한 그 질문에 대한 긍정적 인 대답을 선호했을 것입니다.

— Serge Gaspers

부끄럽지 않은 자기 홍보로 Marthe Bonamy와 저는 더 많은 부정적인 답변을 찾았습니다. 특히, http://arxiv.org/abs/1507.03495의 정리 4는 특정 경우 Král '및 Sgall의 위에서 언급 한 결과를 개선합니다. 우리가 사용하는 예제는 완전한 이분 그래프이며, 여기에서 극도의 조합을 사용하여 분석했습니다.

이 TCS 오버플로 질문에 의해 부분적으로 동기가 부여되었습니다.

— RJK
소스