다항식으로 부울 함수 표현

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의 부울 함수가 있다고 가정 합니다. 실제 변수 다항식 것이 분명 되도록 에 대한 multilinear 일 수있다. 의 최소 정도 가 알려진 흥미로운 부울 함수 클래스는 무엇입니까 ? 구체적인 예가 있습니까? $f:\{0,1\}^n\rightarrow\{0,1\}$ $p(x)$ $f(x)=p(x)$ $x\in\{0,1\}^n$ $p(x)$

boolean-functions

— 티....
소스

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관련 : cstheory.stackexchange.com/questions/25291/…

— Andrej Bauer

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익숙하지 않다면, "대략적인 정도"에 관한 많은 연구가 밀접하게 관련되어 있습니다. "대략적인" 의 다항식의 최소 정도는 무엇입니까? 구체적인 언급은 할 수 없지만 다른 사람들은 말할 것입니다.

f

$f$

— usul

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패리티와 0이 아닌 상관 관계가있는 함수는 차수 입니다. 즉, 이면, 의 고유 한 다중 확장 에는 . 실제로 이므로 의 푸리에 확장 ( 의 제품으로 표현됨 )에는 항이 포함됩니다. 이며 해당하는 단항 는 다른 용어로 나타나지 않습니다. $n$

\sum_{엑스 \in {0, 1}^{엔}} (- 1)^{\sum_{나는} {엑스}_{나는}} 에프 (엑스) \neq 0

$\sum_{x \in \{0,1\}^n} (-1)^{\sum_i x_i}f(x) \neq 0$

f

$f$

x_{1} \dots x_{n}

$x_1\cdots x_n$

(- 1)^{x_{i}} = \frac{1 - x_{i}}{2}

$(-1)^{x_i} = \frac{1-x_i}{2}$

f

$f$

\frac{1 - x_{i}}{2}

$\frac{1-x_i}{2}$

\prod_{i} \frac{1 - x_{i}}{2}

$\prod_i \frac{1-x_i}{2}$

\prod_{i} x_{i}

$\prod_i x_i$

Nisan과 Szegedy는 함수가 최대 변수 에 의존 한다는 것을 증명했습니다 . 들어 우리는 더 정확한 수 있습니다 : 함수가 하나의 좌표 가장에 의존해야합니다. $d$ $d2^d$ $d = 1$

— 유발 필름 러스
소스

이것은 유용한 포인트입니다. 이 주제에 대한 좋은 참고 자료는 무엇입니까?

— T .... 1

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Ryan O'Donnell의 최근 저서 인 부울 함수 분석을 살펴볼 수 있습니다.

— Yuval Filmus

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고유 한 다중 선형 프리젠 테이션이있는 부울 함수 클래스에는

실수에 대한 의사 부울 함수 (Theorem 1.34 [1])
$[0,1]^n$

배경

"모든 부울 함수는 분리 정규 형식과 복합 정규 형식으로 표현할 수 있습니다." (정리 1.4 (p.16 [1])

$\vee (\wedge {x} \wedge \bar{x} )$ $\vee (\prod x \prod (1-x))$ $\sum c \prod x$ $F$ $\mathcal B^n$ $\mathcal P(N)$ $\oplus$ $f(x_1,\ldots,x_n)=\oplus_{A\in\mathcal P(N)} c(A)\prod_{i\in A} x_i$

그리고 그들의 응용 프로그램은

참고 문헌

[1] 부울 함수 이론, 알고리즘 및 응용 (Yves Crama, Peter L. Hammer, 2011)

— hhh
소스

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그렇습니다. 자, 그 질문에 어떻게 대답합니까?

— Emil Jeřábek