벡터의 내적의 분산에 대한 단위 벡터의 모든 분포에 대한 최소값은 얼마입니까?

를 최소화 하는 차원 단위 구 ( )에서 무작위 벡터, 대한 분포를 찾으려고합니다. 는 \ mathbb {E} [x_i ^ Tx_j] = 0 제약 조건을 따릅니다 .$n$$x_1,\ldots, x_n$$k$$n > k$$\max_{i\neq j} \mathrm{Var}(x_i^T x_j)$$\mathbb{E}[x_i^Tx_j]=0$

나는 일부 분포를 시도했고 거의 모든 분산이 $1/k$ 입니다. 예를 들어, 각 x_i 의 각 좌표가 \ left \ {-1 / \ sqrt {k}, 1 / \ sqrt {k} \ right \}$x_i$ 에서 독립적으로 균일하게 선택된 분포와 각 x_i 의 분포가 모두 는 k- 차원 단위 구의 분산이 1 / k 인 독립 균일 벡터입니다 .$\left\{-1/\sqrt{k}, 1/\sqrt{k}\right\}$$x_i$$k$$1/k$

가요 $1/k$ 모든 분포 중에서 최소 분산을?

나는 동등하지만 단순 해 보이는 문제의 공식을 제시하고, ( n / k -1) / ( n - 1) 의 하한을 보여줄 것이다 . 또한 양자 정보에서 열린 문제에 대한 연결을 보여줍니다. [수정판 3 편집 : 이전 개정판에서, 아래에 표시된 하한에 도달 한 경우의 정확한 특성화가 어려울 수 있다고 주장했다. 복잡한 경우의 유사한 질문은 SIC-POVM의 양자 정보. 그러나 SIC-POVM에 대한이 연결이 잘못되었습니다. 자세한 내용은 아래의 "양자 정보에서 SIC-POVM에 잘못 연결됨"섹션을 참조하십시오.

동등한 조제

우선 daniello의 답변에서 이미 지적했듯이 Var ( x _i ^T x _j ) = E [( x _i ^T x _j ) ² ] − E [ x _i ^T x _j ] ² = E [( x _i ^T x _j ) ² ]. 따라서 나머지 답변에서 분산을 잊어 버리고 대신 최대 _{i ≠ j} E [( x _i ^T x _j ) ² ] 를 최소화 합니다.

다음으로, 목표가 max _{i ≠ j} E [( x _i ^T x _j ) ² ] 를 최소화하는 것으로 결정되면 E [ x _i ^T x _j ] = 0 이라는 제약 조건을 무시할 수 있습니다. 단위 벡터 x ₁ ,…, x _n 이면 목적 함수의 값을 변경하지 않고 E [ x _i ^T x _j ] = 0 을 만족시키기 위해 확률 1/2로 각각 독립적으로 부정 할 수 있습니다. max _{i ≠ j} E [( x _나는 ^T x _j) ² ].

또한 목적 함수를 최대 _{i ≠ j} E [( x _i ^T x _j ) ² ]에서 (1 / ( n ( n -1)))로 변경 ∑ _{i ≠ j} E [( x _i ^T x _j ) ² ] 최적의 값을 변경하지 않습니다. 평균이 최대 값이기 때문에 후자는 최대 값입니다. 그러나 항상 E의 값을 만들 수있다 [( X _I ^T X _J ) ⁽²⁾ (의 다른 선택을위한 I , J ) ( I ≠j ) n 벡터 x ₁ ,…, x _n을 무작위로 치환하여 같습니다 .

따라서 모든 n 과 k 에 대해 문제의 최적 값은 (1 / ( n ( n -1))) 의 최소값과 같습니다. ) _{i ≠ j} E [( x _i ^T x _j ) ² ] 여기서 x ₁ ,…, x _n 은 vectors ^k의 단위 벡터 를 값으로 취하는 랜덤 변수입니다 .

그러나, 기대의 선형성에 의해, 이러한 목적 함수는 기대치 E 같다 [(1 / ( N ( N -1))) Σ _{I ≠ J} ( X _I ^T X _J ) ² ]. 최소값은 평균치이므로 확률 분포를 더 이상 고려할 필요가 없습니다. 즉, 위 문제의 최적 값은 다음의 최적 값과 같습니다.

단위 벡터 x ₁ ,…, x _n ∈ ℝ ^k 를 선택하여 (1 / ( n ( n -1))) ∑ _{i ≠ j} ( x _i ^T x _j ) ² 을 최소화 합니다.

하한

이 등가 공식을 사용하여 최적 값이 ( n / k -1) / ( n - 1) 이상임을 증명할 것입니다 .

1≤ i ≤ n의 경우, X _i = x _i x _i ^T 가 단위 벡터 x _i에 해당하는 순위 1 프로젝터가되도록합니다 . 그런 다음 ( x _i ^T x _j ) ² = Tr ( X _i X _j )를 유지합니다.

Y = ∑ _i X _i로 하자 . 그런 다음 ∑ _{i ≠ j} Tr ( X _i X _j ) = ∑ _{i , j} Tr ( X _i X _j ) -n = Tr ( Y ² ) -n 입니다.

Cauchy-Schwarz 불평등은 Tr ( Y ² ) ≥ (Tr Y ) ² / k = n ² / k 이므로 ∑ _{i ≠ j} Tr ( X _i X _j ) = Tr ( Y ² ) − n ≥ n ² / k - n . n ( n -1)으로 나누면 목표 값이 ( n / k -1) / ( n - 1) 이상임을 알 수 있습니다.

특히, n = k +1 인 경우 daniello의 답은 최적 값에서 2의 계수 내에 있습니다.

이 하한은 언제 달성 할 수 있습니까?

이 하한 ( n / k -1) / ( n - 1)을 얻는 것은 Y = ( n / k ) I 를 만드는 것과 같습니다 . 나는 그것이 달성 될 때 정확한 특성을 알지 못하지만 다음과 같은 충분한 조건이 존재합니다.

• 경우 N = K +1, 그것을 고려하여 달성 가능한 K 정규 형성 한 단위 벡터 (K) 2 / (상기 개선 원점에 중심 -simplex를 K ( K 최적의 1 / 행 daniello의 대답 +1)) K를 ² .
• 하면 N 의 배수 (K)는 , 그것의 ℝ의 정규직 교 기저 고정함으로써 명확 쉽지만 ^케이 및 상기 베이시스 벡터들 각각을 할당하는 N / K 의 V ₁ , ..., V _{, N} .
• 보다 일반적으로 마지막 글 머리표보다, k를 선택 하고 n = n ₁ 과 n = n _2를 모두 얻을 수 있다면, 동일한 k 및 n = n ₁ + n _2에 대해서도 얻을 수 있습니다. 특히, n = a k + b 인 경우 , a 및 b 는 a ≥ b ≥0을 만족 하는 정수 입니다.

세부 사항을 확인하지는 않았지만 구형 2 디자인 은이 하한을 달성하는 솔루션을 제공하는 것으로 보입니다 .

양자 정보에서 SIC-POVM에 잘못 연결

이전 버전에서는 다음과 같이 말했습니다.

나는 이것에 완전히 대답하는 것이 어려운 질문이라고 생각합니다. 그 이유는 복소수 벡터 공간 consider ^k를 대신 고려한다면 ,이 질문은 양자 정보의 열린 문제와 관련이 있기 때문입니다.

그러나이 관계는 틀렸다. 이유를 설명하겠습니다.

보다 정확하게는 다음 문제를 고려하십시오.

(1 / ( n ( n -1))) 을 최소화 하려면 단위 벡터 x ₁ ,…, x _n ∈ ℂ ^k 를 선택하십시오 ∑ _{i ≠ j} | x _i ^* x _j | ² .

위의 하한은이 복잡한 버전에서 동일하게 유지됩니다. 복잡한 버전에서 n = k ^{2 인} 경우를 고려하십시오 . 그런 다음 하한은 1 / ( k +1)과 같습니다.

지금까지는 정확했습니다.

세트 K ² 단위 벡터 X ₁ , ..., X _{(K) ²} ∈ ℂ의 ^K 불리며 하한 달성 SIC-POVM 차원에 (k)를 ,

이 부분이 잘못되었습니다. SIC-POVM는 세트 인 K ² 단위 벡터 X ₁ , ..., X _N ∈ ℂ의 ^K 되는 | x _i ^* x _j | 모든 i ≠ j에 대해 ² = 1 / ( k +1)입니다 . 요구 사항은 모든 쌍을 위해 보유해야 여기에 있습니다 내가 ≠ j를 , 모든 쌍 이상 단지의 평균없는 내가 ≠ j를 . "등가 제형"섹션에서, 우리는 최대 최소화와 평균 최소화 사이의 동등성을 보여 주었지만, 이것은 x ₁ 때문에 가능했습니다.,…, x _n 은 단위 벡터를 취하는 랜덤 변수입니다. 여기서 x ₁ ,…, x _n 은 단위 벡터이므로 동일한 트릭을 사용할 수 없습니다.

질문에 대한 빠르고 더러운 답변은 "아니오, 분산이 더 작을 수 있습니다"입니다. 표준 기반으로하고 다음과 같은 임의의 프로세스를 고려하십시오. 로 설정하고 . 다른 벡터 들어 (대 )에 할당 일대일 방식이다. 그런 다음, 각 에 대해 를 그대로 유지 하거나 확률 뒤집습니다 ( ) .$v_1, v_2, \ldots, v_k$$\{1,2,\ldots,k+1\}$$x_i = x_j = v_1$$x_t$$t \notin \{i,j\}$$v_2, \ldots, v_k$$t \in \{1,\ldots,k+1\}$$x_i$$-x_i$$\frac{1}{2}$

쉽게 볼이 - 중 및 직교하거나 동일한 확률 / 반대 방향으로 가리킬 각.$E[x_a \cdot x_b] = 0$$x_a$$x_b$$\frac{1}{2}$

반면에 입니다. 우리는이 경우에만,이 확률 일어나는 . 그렇지 않으면 입니다. 따라서 우리는 모든 , 다음을 . $Var[x_a \cdot x_b] = E[(x_a \cdot x_b)^2]$$(x_a \cdot x_b)^2 = 1$$\{a,b\} = \{i,j\}$$\frac{1}{k+1 \choose 2}$$(x_a \cdot x_b)^2 = 0$$a$$b$

내 직감은 이것이 얻는 것처럼 나쁘지만 작다는 증거입니다. 더 흥미로운 점은이 구성이 n >> k에 대해 분해되는 것 같고 가 독립적으로 선택되어야 할 때 (다른 분포에서) 가능하다는 것입니다.$x_i$