합니까

polytime Turing-machine / polysize 회로 대신 logspace Turing-machine 또는 회로가 문제를 인코딩하도록 ${\bf PPAD}$ 정의하면 어떻게됩니까 ? ${\bf AC^0}$

최근 소형 회로에 대한 회로 만족도에 대한 빠른 알고리즘을 제공 하는 것이 중요하다는 것이 밝혀 졌으므로 의 반복 버전에 어떤 일이 발생하는지 궁금합니다 ${\bf PPAD}$ .

— 도모토
소스

버스와 존슨, "NP 검색 문제 사이의 제안 증거 및 축소"는 튜링 감소로 인해 PPAD가 닫혀 있음을 증명하며, 인수의 사소한 수정은 PPAD가 (균일 한) AC ^ 0 버전과 동등 함을 확신합니다 .

— Emil Jeřábek은 Monica

@Emil : 안타깝게도이 논문의 개념은 저 너머에 있습니다. 누군가 나에게 그 의미를 말해 줄 수 있다면 감사 할 것입니다. 또한 여기에서 사전 인쇄본으로 연결하겠습니다 : math.ucsd.edu/~sbuss/ResearchWeb/NPSearch/NPSearch.pdf

— domotorp

$\def\ac{\mathrm{AC}^0}$ 예, 입니다. (여기서 아래에서 가 균일 클래스로 정의되어 있다고 가정 합니다. 물론 균일하지 않은 를 사용하면 만 얻습니다 .) $\ac\mathrm{PAD}=\mathrm{PPAD}$ $\ac$ $\ac$ $\mathrm{PPAD/poly}$

기본 아이디어는 매우 간단합니다. 는 튜링 머신 계산의 한 단계를 수행 할 수 있으므로, 다항식으로 긴 -computable edge 라인으로 다항식 시간 계산 가능한 edge를 시뮬레이션 할 수 있습니다 . 아이디어의 추가 확장에 의해, PPAD 오라클을 사용하여 폴리 시간으로 계산 가능한 에지를 시뮬레이션 할 수 있습니다. 즉, PPAD는 Turing reducibility 아래에서 닫힙니다. 이 주장은 버스와 존슨에 주어진다 . $\ac$ $\ac$

문헌에 PPAD에 대한 많은 동등한 정의가 여러 세부 사항이 다르므로 여기서 명확성을 위해 수정하겠습니다. 다항식 과 다항식 함수 , 및 가 다음과 같은 경우 NP 검색 문제 가 PPAD에 있습니다. 각 입력 용 길이의 , 및 유향 그래프 표현 여기서 자기 루프없이를 , 모든 노드 IN- 갖는다 정도와 최대 . 경우 $S$ $p(n)$ $f(x,u)$ $g(x,u)$ $h(x,u)$ $x$ $n$ $f$ $g$ $G_x=(V_x,E_x)$ $V_x=\{0,1\}^{p(n)}$ $1$ $(u,v)\in E_x$ 다음, 및 ; 만약 도 밖으로 가지고 , ; 그리고 만약 가지고있는도 , . $f(x,u)=v$ $g(x,v)=u$ $u$ $0$ $f(x,u)=u$ $u$ $0$ $g(x,u)=u$

노드 소스 (즉, 그것이 갖는 정도 인 아웃도 ). 경우 임의의 소스 또는 싱크가 (에도 (OUT)도 ) 이외 다음, 에 대한 해결책이고 . $0^{p(n)}\in V_x$ $0$ $1$ $u\in V_x$ $1$ $0$ $0^{p(n)}$ $h(x,u)$ $S(x)$

가 있어야한다는 점을 제외하고 유사하게 정의 할 수 있습니다 . $\ac\mathrm{PAD}$ $f,g,h$ $\mathrm{FAC}^0$

단순화를 위해 구성에서 를 무시 합니다. (프로젝터가 될 수 있으므로 -computable 이라는 것을 보여주는 것은 어렵지 않습니다 .) $h$ $\ac$

따라서 와 정의 된 PPAD 문제 고려하고 시간 에서 와 를 계산하는 Turing 머신을 수정하십시오 . 임의의 경우 , 우리는 방향 그래프 정의 꼭지점 다음과 같은 형태의 시퀀스를이다 : $S$ $f$ $g$ $f$ $g$ $q(n)$ $x$ $G'_x=(V'_x,E'_x)$

$(0,u,c_1,\dots,c_k)$ 여기서, , , 및 최초로 구성의 계산에서 . $u\in V_x$ $0\le k\le q(n)$ $c_1,\dots,c_k$ $k$ $f(x,u)$
$(0,u,c_1,\dots,c_{q(n)},v,d_1,\dots,d_k)$ , 여기서 , , , 의 전체 연산이고 그리고 최초로 의 계산의 단계 . $u,v\in V_x$ $0\le k\le q(n)$ $f(x,u)=v$ $c_1,\dots,c_{q(n)}$ $f(x,u)$ $d_1,\dots,d_k$ $k$ $g(x,v)$
$(1,v,d_1,\dots,d_k)$ , 여기서 , 및 가 첫 번째 계산에 구성을 . $0^{p(n)}\ne v\in V_x$ $0\le k\le q(n)$ $d_1,\dots,d_k$ $k$ $g(x,v)$
$(1,v,d_1,\dots,d_{q(n)},u,c_1,\dots,c_k)$ , 여기서 , , , , 은 의 계산 이고 는 첫 번째입니다 계산의 단계 . $u,v\in V_x$ $v\ne0^{p(n)}$ $0\le k\le q(n)$ $g(x,v)=u$ $d_1,\dots,d_{q(n)}$ $g(x,v)$ $c_1,\dots,c_k$ $k$ $f(x,u)$

$E'_x$ 는 다음과 같은 의 모서리로 구성됩니다 . $V'_x\times V'_x$

$(0,u,c_1,\dots,c_k)\to(0,u,c_1,\dots,c_{k+1})$
$(0,u,c_1,\dots,c_{q(n)})\to(0,u,c_1,\dots,c_{q(n)},v)$
$(0,u,c_1,\dots,c_{q(n)},v,d_1,\dots,d_k)\to(0,u,c_1,\dots,c_{q(n)},v,d_1,\dots,d_{k+1})$
$(0,u,c_1,\dots,c_{q(n)},v,d_1,\dots,d_{q(n)})\to(1,v,d_1,\dots,d_{q(n)},u,c_1,\dots,c_{q(n)})$ 및 경우 (즉, 또는 는 고립 된 정점) $f(u)=v$ $g(v)=u$ $(u,v)\in E_x$ $u=v$
$(1,v,d_1,\dots,d_{q(n)},u,c_1,\dots,c_{k+1})\to(1,v,d_1,\dots,d_{q(n)},u,c_1,\dots,c_k)$
$(1,v,d_1,\dots,d_{q(n)},u)\to(1,v,d_1,\dots,d_{q(n)})$
$(1,v,d_1,\dots,d_{k+1})\to(1,v,d_1,\dots,d_k)$
$(1,u)\to(0,u)$

공식적으로, 위의 모든 시퀀스의 이진 표현 길이에 묶는 다항식 으로하자 서열을 확장하거나 단축하고 함수로 요소를 추출 할 수 있도록 ). 실제로 넣고 위에서 언급 한 시퀀스를 제외한 모든 정점이 분리되도록합니다. $r(n)$ $\ac$ $V'_x=\{0,1\}^{r(n)}$

를 나타내는 함수 , 가 computable이라는 것을 쉽게 알 수 있습니다. 특히 가 의 유효한 부분 계산 인지 여부 를 에서 테스트 할 수 있습니다. , 에서 을 계산 하고 에서 값을 추출 할 수 있습니다 . $f'$ $g'$ $G'_x$ $\ac$ $\ac$ $c_1,\dots,c_k$ $f(x,u)$ $c_{k+1}$ $c_k$ $f(x,u)$ $c_{q(n)}$

의 싱크는 형식의 노드입니다. 여기서 는 싱크 인입니다. . 마찬가지로, 소스는 있는 원천 특별한 것을 제외하고, case 이면 라인을 일찍 잘라 의 해당 소스 는 입니다. 시퀀스의 인코딩이 과 같은 방식으로 수행된다고 가정 할 수 있습니다 . $G'_x$ $(0,u,c_1,\dots,c_{q(n)},u,d_1,\dots,d_{q(n)})$ $u$ $G_x$ $(1,v,d_1,\dots,d_{q(n)},v,c_1,\dots,c_{q(n)})$ $v$ $G_x$ $v=0^{p(n)}$ $G'_x$ $(0,0^{p(n)})$ $(0,0^{p(n)})=0^{r(n)}$

따라서, 및 정의 문제 , 우리의 해결책 추출 할 수 에 대한 솔루션에서 의해 α- 함수에 된 출력 시퀀스의 두 번째 구성 요소 $f'$ $g'$ $\ac\mathrm{PAD}$ $S'$ $S(x)$ $S'(x)$ $\ac$ $h'$

— Emil Jeřábek은 Monica를 지원합니다
소스