장기적인 추측은 나중에 사소한 의미로 입증되었습니다

TCS에서 오랫동안 입증되지 않은 추측이 있었는지 나중에 알고 싶습니다. 나중에 다른 이론의 함의에 의해 입증 되었기 때문에 증명하기가 더 쉬웠을 것입니다.

에르 되시 및 POSA는 모든 정수에 대해 입증 및 그래프 G 중 G 갖는 k 개의 이산 사이클 또는 최대 크기의 세트가 F ( k는 ) 정점 S ∈ G 되도록 G ∖ S가 숲이다. (그의 증거로 f ( k ) ∈ O ( k ⋅ log k ) ).$k$$G$$G$$k$$f(k)$$S\in G$$G\setminus S$$f(k) \in O(k \cdot \log k)$

다음과 같이 알려진 고정 그래프 의 Erdös 및 Pósa 속성은 공식적인 정의가 아닙니다.$H$

그래프의 클래스 함수가있는 경우 에르 되시-POSA 속성을 인정 F 이러한 모든 그래프 것이 H ∈ C 및 대한 K ∈ Z 및 그래프 G 중있다 K 끊긴 동형 복사 (WRT 단조 또는 호)를 H 의 G 또는 꼭짓점 S ∈ G 의 집합 이 | S | ≤ f ( k ) 및 G ∖ S 에는 H의 동 형사상이 없습니다 .$\mathcal{C}$$f$$H\in \mathcal{C}$$k \in \mathbb{Z}$$G$$k$$H$$G$$S\in G$$|S|\le f(k)$$G\setminus S$$H$

Erdös와 Pósa가이 특성을 인정하는주기의 클래스에 대한 결과를 얻은 후에는 적절한 클래스 를 찾는 것이 현명한 질문이었습니다 . 에서는 마이너 V가 모든 평면 그래프 한정된 트리 폭이나 손 그리드 정리함으로써, 미성년자와 같은 큰 격자를 포함하거나 입증들은 에르 되시 및 POSA 재산권의 경우에만, (미성년자) 보유되었습니다 C가 인 평면 그래프의 클래스. 그래도 문제는 여전히 세분화되어 있습니다. 그러나 정리에 대한 증거는 미미하다 간단하고 내 지식으로는 그리드 정리를 사용하지 않으면 아무런 증거도 없다.$\mathcal{C}$$\mathcal{C}$

최근의 digraphs 결과 는 유사한 digraphs 영역에서 오랫동안 열려있는 질문에 대한 답변을 제공합니다. 예를 들어, 하나의 가장 기본적인 문제는 그 함수가 있었다 임의 그래프되도록 G 및 정수 K , L , 우리는 두 세트 찾을 수 S ⊆ V ( G ) 최대의 F ( K + L은 ) 되도록 정점 G는 - S는 최소 길이의 사이클에는없는 패 또는있다 유전율 길이 이산 사이클 적어도 L 에서 $f$$G$$k,l$$S\subseteq V(G)$$f(k+l)$$G-S$$l$$k$$l$$G$. 이것은 특별한 경우이지만 경우 Younger 's 추측으로 알려져 있습니다. 그 이전에 Reed et al은 Younger의 추측을 꽤 복잡한 접근법으로 입증했습니다.$l=2$

여전히 그래프에는 아주 사소한 경우가 있음을 언급 할 가치가 있습니다. 예를 들어, 위의 논문에서 정리 5.6은 약하게 연결된 작은 종류의 계급에 대한 젊은이들의 추측을 긍정적으로 확장 한 것이지만, 우리가 가지고있는 지식과 수학적 도구로는 사소하지 않다는 것입니다. ). 아마도 이러한 그래프에 더 나은 특성을 제공함으로써이를 쉽게 증명할 수있는 방법이있을 것입니다.

질문의 제목은 "사소한 의미"를 나타내지 만 내용은 해당 기준을 정확하게 지정하지 않으므로 약간 혼합 된 메시지입니다. 일반적인 주제에 근접한 반 유명한 항목 / 예는 강력한 퍼펙트 그래프 추측 의 증거입니다.2002 년 Maria Chudnovsky, Neil Robertson, Paul Seymour 및 Robin Thomas. 완벽한 그래프의 인식의 알고리즘 복잡성의 문제는 강한 완벽한 그래프 추측의 증명 메커니즘과 밀접한 관계가있는 것으로 밝혀졌다. 다시 말해, 완벽한 그래프 인식은 P에 속한다 (또는 "낮은 복잡도"등).

완벽한 그래프 인식을위한 다항식 알고리즘 Gérard Cornuéjols, Xinming Liu, Kristina Vušković 2003