솔루션 수에 대한 준 다항식의

FewP 는 솔루션 수 (입력 크기)에 다항식 경계가있는 문제 의 클래스입니다 . 에는 알려진 문제 가 없습니다 . 우리가이 관측을 얼마나 멀리 확장 할 수 있는지에 관심이 있습니다. $NP$ $NP$ $fewP$

해수 (증인)의 수에 대한 준 다항식 상한에 자연적인 완전한 문제가 있습니까? 그러한 가능성을 배제 할 수있는 널리 받아 들여지는 추측이 있습니까? $NP$

당연히 그 문제는 인위적으로 만들어진 문제 (또는 비슷한 문제)에 답하는 것이 아니며 사람들은 독립적으로 문제에 관심이 있습니다 (Kaveh가 정의한대로).

편집 : 현상금은 그러한 자연적인 완전 문제 또는 그러한 문제의 존재를 배제하는 합리적인 논쟁에 수여됩니다 (광범위하게 받아 들여지는 복잡성 이론 추측 사용). $NP$

동기 부여 : 나의 직감은 완전성이 증인의 수에 대해 초 다항식 (또는 지수) 하한을 부과한다는 것입니다. $NP$

cc.complexity-theory np

— 모하마드 알-투르 키스 타니
소스

약속 문제 UniqueSAT가 인

(안 같은

의 서브 세트 임),

(안 동일

) .

P r o m i s e U P

$\mathsf{PromiseUP}$

U P

$\mathsf{UP}$

P r o m i s e F e w P

$\mathsf{PromiseFewP}$

F e w P

$\mathsf{FewP}$

— Joshua Grochow

SAT 패딩이 귀하의 질문에 대답합니까?

— Kaveh

그것이 요점입니다. 그렇지 않습니다. 입력 크기 는 입력 의 비트 수이며 (스파 스) 3-sat 인스턴스의 크기는

입니다. 변수의 수는 입력의 한 측면 (매개 변수)에 불과하므로 다른 문제 (예 : 그래프 문제)의 경우 증인 수를 측정하는 대상을 지정해야합니다. 예를 들어 최대 컷의 경우 입력 그래프에

모서리 가있을 수 있으며 다시

증인 (입력 크기의 하위 지수 ) 만 있습니다. 그러나 우리는 실제로

측면에서 측정하려고합니다 . 그러나 #vertices가 올바른 방법인지는 확실하지 않습니다.

m \log n

$m \log n$

n^{2}

$n^2$

2^{n}

$2^n$

n

$n$

— 다니엘로

@Kaveh 네, 모하마드가 그의 질문에 맞는 것을 생각했다고 가정해야합니다. 또한 보시다시피 복잡성 동물원은 저의 정의에 동의합니다. 일반적으로 흥미로운 복잡성 클래스에서 다항식으로 입력을 채운 경우 정의가 변경되지 않아야합니다.

— domotorp

@downvoters 왜 사람들이이 질문을 내리고 있습니까? 적어도 누군가가 그것에 대한 이유를 줄 수 있음을 의미합니다 ...

— domotorp

이것은 매우 흥미로운 질문입니다.

먼저, 분명한 말입니다. "위 증인의 수에 바인딩"참고는 하지 그 자체 전산 문제의 속성하지만, 결정하는 데 사용되는 특정 검증의 단지로, 문제에 "상위 상태의 수에 결합하는 것은"는 아닐 것 문제의 속성이지만 튜링 머신이이를 결정합니다. 따라서 " 솔루션 수의 상한에 대한 문제 "라고 말하는 것은 정확하지 않으며 이면 모든 문제에는 원하는 수의 솔루션 (0 포함 및 가능한 모든 문자열 포함)이있는 검증 기가 있습니다. . $NP$ $NP$ $P = NP$ $NP$

따라서 귀하의 질문을 해결하기 위해 정의를 만들어야합니다. 들면 ,하자가 말 문제 "보유하게는 용액"만약 어떤 상수 가 검증 시간 등, 그 모든 입력 길이 과 대 길이 의 마다 , $s : {\mathbb N} \rightarrow {\mathbb N}$ $NP$ $L$ $s(n)$ $c$ $O(n^c)$ $V$ $n$ $x \in L$ $n$ 길이 되도록모두 수용및다른 모든 거부길이 . $y_1,\ldots,y_{s(n)}$ $n^c$ $V(x,y_i)$ $i$ $V(x,y)$ $y$ $n^c$

내가 지금 말할 수 있다고 생각하는 것은 이것입니다.

내가 아는 모든 완전한 문제 (일부 자연 검증기로 정의 됨)에는 동일한 검증기를 가진 완전 카운팅 버전이 있습니다. $NP$ $\#P$
어떤 옵션 기껏 갖는 검증 데이터 유형으로 정의 - 완전한 문제 용액 (또는 용액)에 대응하는 계산 된 버전이 아닐 것이다 - 완전한. $NP$ $poly(n)$ $2^{n^{o(1)}}$ $\#P$

자세한 내용 : 이 이고 최대 솔루션 을 갖는 검증기 를 사용 한다고 가정 합니다. 그런 다음 의 자연 계산 "결정"버전을 정의합니다. $L$ $NP$ $V$ $O(n^c)$ $L$

$Count_L(x) := \text{the number of $y$ such that $V(x,y)$ accepts}$

에 계산 가능하다 이며, 함께 polytime 함수 에 질의 . 에 대한 해결책의 수 여부를 결정하기 때문이다 기껏입니다 에 : 존재하는 경우 증인의 수 단순히 '의 제작 우리가 동의, 알고 가장에있을 $FP^{NP[O(\log n)]}$ $O(\log n)$ $NP$ $x$ $k$ $NP$ $y_i$ $V$ $O(n^c)$ . 그런 다음이 문제를 사용하여 이진 검색을 수행하여 대한 정확한 솔루션 수를 계산할 수 있습니다. $NP$ $L$

따라서 이러한 종류 의 문제는 아닌 한 일반적인 방법으로 문제 로 확장 될 수 없습니다 . 이것은 거의 보이지 않습니다. 전체 다항식 시간 계층은 기본적으로 축소됩니다 . $NP$ $\#P$ $\#P \subseteq FP^{NP[O(\log n)]}$ $P^{NP[O(\log n)]}$

위 이라고 가정 하면 결과는 거의 없습니다. 해당 표시 할 계산 될 수있다 와 시간 오라클. 예를 들어, 및 그 이후 를 증명하기에 충분합니다. $s(n) = 2^{n^{o(1)}}$ $\#P$ $2^{n^{o(1)}}$ $NP$ $EXP^{NP} \neq PP$ $EXP^{NP} \not\subset P/poly$ . 그하지 않는 것이 분리는 가능성이 있지만, 그들이 subexp 시간을 제공하여 증명 될 것 같지는 않다 영구위한 -oracle 알고리즘. $NP$

그건 그렇고, 나는 여기서 너무 통찰력있는 말을하지 않았습니다. 문헌에는 이와 같은 주장이 거의 확실합니다.

— 라이언 윌리엄스
소스

실제로 통찰력있는 답변입니다.

— Mohammad Al-Turkistany