하나의 임계 값 게이트 만있는 산술 회로

한정 경우 $0$ - 입력마다 -circuit 일부 함수 계산 . 부울 함수 를 얻기 위해 하나의 fanin-1 임계 값 게이트를 출력 게이트로 추가 할 수 있습니다. 입력에 , 얻어진 임계 - 회로는 다음에 출력 경우에 및 출력 의 경우 ; 임계 값 은 임의의 양의 정수일 수 있으며, 이는 의존 할 수있다 $1$ $\{+,\times\}$ $F(x_1,\ldots,x_n)$ $F:\{0,1\}^n\to \mathbb{N}$ $a\in\{0,1\}^n$ $\{+,\times\}$ $1$ $F(a)\geq t$ $0$ $F(a)\leq t-1$ $t=t_n$ $n$ 입력 값에는 없습니다. 결과 회로는 일부 (모노톤) 부울 함수 합니다. $F':\{0,1\}^n\to \{0,1\}$

질문 : 임계 값 $\{+,\times\}$ 회로를 $\{\lor,\land\}$ 회로 로 효율적으로 시뮬레이션 할 수 있습니까?

"효율적으로"는 "최대 다항식 크기 증가"를 의미합니다. 대답은 임계 값에 대해 "예"분명하다 $t=1$ : 단지 대체 $+$ 에 의해 $\lor$ , $\times$ 로 $\land$ , 마지막 임계 값 게이트를 제거합니다. 즉, $\{\lor,\land\}$ 회로는 실제로 임계 값 $1$ $\{+,\times\}$ 회로입니다. 그러나 더 큰 임계 값, 즉 $t=2$ 어떻습니까?

하나는 산술 유사체를 정의 할 $\#C$ 가장 부울 회로 클래스 $C$ 단지 이용 $+$ , 대신 OR $\times$ 대신에 AND, 및 $1-x_i$ 아닌 $\bar{x}_i$ . 예를 들어, $\#AC^0$ 회로는 무한 팬인 및 게이트를 갖는 일정한 깊이의 회로 이며, 입력 및 입니다. $\{+,\times\}$ $+$ $\times$ $x_i$ $1-x_i$ Agrawal, Allender 및 Datta는 임계 값 $\#AC^0$ = 을 보여주었습니다 $TC^0$ . ( $AC^0$ 자체는 의 적절한 서브 세트 임을 명심하십시오 . 예를 들어, 과반수 함수를 취하십시오.) 즉, 상수 깊이 임계 회로는 상수 깊이 - 로 효율적으로 시뮬레이션 할 수 있습니다. 단 하나의 임계 값 게이트를 갖춘 회로! 단, 내 질문에 대해 없음을 모노톤 "회로 (아무 마이너스 "문으로, 심지어 더 $TC^0$ $\{+,-,\times\}$ $-$ $1-x_i$ 입력으로 ). 그렇다면 하나의 (마지막) 임계 값 게이트가 그렇게 강력 할 수 있습니까? 나는이 물건을 모른다. 그래서 관련된 모든 포인터를 환영한다.

NB Arnold Rosenbloom으로 인해 또 다른 흥미로운 관련 결과가 있습니다 : $\{+,\times\}$ 단 하나의 모노톤 함수 $g:\mathbb{N}^2\to\{0,1\}$ 출력 게이트는 $O(n)$ 게이트로 모든 슬라이스 함수를 계산할 수 있습니다 . 슬라이스 기능은 어떤 고정 된에 대해, 단조 부울 함수 $k$ , 출력 $0$ (RESP. $1$ 이하의 모든 입력에) (RESP. 개)보다 $k$ 그들. 반면에, 쉬운 카운팅은 대부분의 슬라이스 함수가 지수 크기의 일반적인 $\{\lor,\land,\neg\}$ 회로를 필요로한다는 것을 보여줍니다 . 따라서 하나의 "순진한"추가 출력 게이트 는 모노톤 회로를 전능하게 만들 수 있습니다 ! 내 질문은 $g:\mathbb{N}\to\{0,1\}$ 이 fanin- $1$ 임계 값 게이트 일 때 이것이 일어날 수 있는지 묻습니다 .

실행 ( 2014 년 3 월 11 일 추가) : Emil Jeřábek은 (놀랍게도 간단한 구성을 통해 아래의 답변을 참조하십시오 .) 상수

대해

만큼 대답이 "예"인 것으로 나타났습니다 . 따라서 질문은 초 다항식 (

) 임계 값 에 대해서만 열려 있습니다.

t \leq n^{c}

$t\leq n^c$

c

$c$

n

$n$

일반적으로, 응용 프로그램에서 만 큰 임계 값은 일을 : 우리는 일반적 형태의 임계 값을 필요로 에 대한 . 말은 경우 계산 의 수 - 의해 지정된 그래프 경로 - 에 대해 그 다음, 입력 와 의 쓰레 쉬 홀드 버전으로 해결 $2^{n^{\epsilon}}$ $\epsilon > 0$ $F:\{0,1\}^n\to \mathbb{N}$ $s$ $t$ $0$ $1$ $t=m^{m^2}$ $m\approx n^{1/3}$ $t$ $F$ vertex 그래프 에 Hamiltonian - 경로 문제가 존재합니다 (예 : 여기 참조 ). $s$ $t$ $m$

(2014 14.11. 추가) : Emil이 내 질문의 큰 부분에 답하고 지수 임계 값의 경우가 보이지 않기 때문에 이제이 Emil의 (매우 좋은) 대답을 받아들입니다.

circuit-complexity arithmetic-circuits cc-complexity-theory

— 스타 시스
소스

잠깐만… 지수 크기? 부울 게이트를 사용하여 다항식 크기로 슬라이스 함수를 구현할 수 있다고 생각합니다.이 함수는 지수 크기이어야하는 수식 (중간 결과를 두 번 이상 재사용 할 수 없음) 일뿐입니다.

— Zsbán Ambrus

@ Zsbán Ambrus : 최대 크기

의

회로가 있지만

대해 적어도

별개의

슬라이스 함수가 있습니다 . a, b 양의 상수.

S^{a S}

$S^{aS}$

S

$S$

2^{2^{b n}}

$2^{2^{bn}}$

k

$k$

k = n / 2

$k=n/2$

— Stasys

임계 값 2,보다 일반적으로

경계 화 된 임계 값 은 반올림

에서 계산을 수행하여 효율적으로 시뮬레이션 할 수 있습니다.

2^{n^{c}}

$2^{n^c}$

({0, \dots, t}, min {x + y, t}, min {x y, t})

$(\{0,\dots,t\},\min\{x+y,t\},\min\{xy,t\})$

— Emil Jeřábek은 Monica November

회로를 직접 얻습니다 . 각 노드

를

노드

. 여기서

는 부울 술어

계산합니다 . ( 상수

계산할 때

필요하지 않지만 아래 식을 단순화합니다.)이 표현에서

와

는 크기

의

회로 로 시뮬레이션 할 수 있습니다.

\land, \lor

$\land,\lor$

c

$c$

t + 1

$t+1$

c_{0}, \dots, c_{t}

$c_0,\dots,c_t$

c_{i}

$c_i$

c \geq i

$c\ge i$

c_{0}

$c_0$

1

$1$

+

$+$

\cdot

$\cdot$

{\land, \lor}

$\{\land,\lor\}$

: 예를 들어

이면

입니다.

O (t^{2})

$O(t^2)$

c = a + b

$c=a+b$

c_{i} = \underset{j + k \geq i}{⋁} (a_{j} \land b_{k})

$c_i=\bigvee_{j+k\ge i}(a_j\land b_k)$

— Emil Jeřábek은 Monica

@Emil Jeřábek : 아주 좋아요! 나는 이제 이것에 대해 언급했다. 실제로,이 의견을 답으로 제시하는 것이 좋습니다. 다항식 임계 값 사례도 즉시 명확하지 않았습니다 (적어도 나를 위해).

— Stasys

이면 답은“yes” 입니다. 보다 일반적으로, 임계 크기 -circuit 임계치와 a로 시뮬레이션 될 수있다 -circuit 사이즈의 . $t=n^{O(1)}$ $\{+,\cdot\}$ $s$ $t$ $\{\lor,\land\}$ $O(t^2s)$

첫째,의 회로를 평가하기에 충분한 것이 관찰 절단 덧셈과 곱셈 : 특히, 만약 다음 , 그리고 어느 , 또는 . $\{0,\dots,t\}$ $a,a'\ge t$ $a+b,a'+b\ge t$ $ab,a'b\ge t$ $ab=a'b(=0)$

이를 염두에두고 각 노드 를 노드 로 대체하여 부울 모노톤 회로로 회로를 시뮬레이션 할 수 있습니다 . 여기서 는 술어 를 계산합니다 . (우리는 표기법의 편의를 위해서만 필요 하고 상수 함수를 계산합니다 .) 가 부울 입력 변수 경우 , 취합니다. $c$ $c_0,\dots,c_t$ $c_i$ $c\ge i$ $c_0$ $1$ $c$ $x$ $c_1=x$ $c_2=\dots=c_t=0$ . 경우에 첨가 게이트이다라고 , 우리는 그것을 통해 구현 곱셈 게이트는 같은 방식으로 처리됩니다. $c$ $c=a+b$

c_{i} = \underset{\begin{matrix} j, k \leq t \\ j + k \geq i \end{matrix}}{⋁} (a_{j} \land b_{k}) .

$c_i=\bigvee_{\substack{j,k\le t\\j+k\ge i}}(a_j\land b_k).$

이것은 원래 회로의 한 게이트 당 게이트를 사용합니다. 사소한 최적화로서 를 넣어서 로 줄일 수 있습니다 $O(t^3)$ $O(t^2)$ 각각의 것이의 단 하나의 입력으로 사용하는게이트.

\begin{aligned} c_{t} & = \underset{j + k \geq t}{⋁} (a_{j} \land b_{k}), \\ c_{i} & = c_{i + 1} \lor \underset{j + k = i}{⋁} (a_{j} \land b_{k}), i < t, \end{aligned}

$\begin{align*} c_t&=\bigvee_{j+k\ge t}(a_j\land b_k),\\ c_i&=c_{i+1}\lor\bigvee_{j+k=i}(a_j\land b_k),\qquad i<t, \end{align*}$

a_{j} \land b_{k}

$a_j\land b_k$

c_{i}

$c_i$

— Emil Jeřábek은 Monica를 지원합니다
소스