Martin-Löf 유형 이론의 최소 사양

Martin-Löfs 형식 이론 ( HoTT 책의 부록)의 공식 발표를 읽고 있습니다. 저자들은 우주, 다음의 계층 도입 과 같은 W -types 뿐만 아니라 자연수 N (유도를 통해 0 과 s의 U C C ). 결국 그들은 더 높은 유도 유형 을 추가 합니다.$\Pi, \Sigma,+, {\bf 0}, {\bf 1}$$W$$\mathbb N$$0$$succ$

그러나 왜 이론 사양에서 을 수행 해야하는지 궁금 합니다. 하지 않는 1 과 + 및 대수 데의 화신, 데이터 유형 W -types이 충분할 그것을 설정? 예를 들어 초기 대수 접근 방식. (적어도 우리가 MLTT에서 HoTT로 전달한 후 유도 성 유형을가집니다. 결국 정수 Z 는 이론 내에서 원형 유형 S 의 동위 원소 그룹 으로 나타납니다 .)$\mathbb N$${\bf 1}$$+$$W$$\mathbb Z$$\mathbb S$

아니면 시작부터 원시 재귀가 필요하다는 것과 관련이 있습니까? 이는 프레젠테이션에서 바로 옆에 정의 되어 있습니까? 이것은 프레임 워크에서 "정의가 어떻게 정의되어 있는지"또는 언어가 공식적으로 어떻게 작동하는지 잘 모르기 때문에 제가 가진 아이디어입니다. 나는 유니버스의 계층 구조가 정의 될 때 적어도 비공식적 인 숫자와 "더 큰"이라는 개념이 이미 사용되고 있음을 알고 있다고 덧붙일 수 있습니다.$\mathbb N$

을 절약 할 수 있고 사양이 최소가 아닌 경우 원칙적으로 떨어질 수있는 다른 항목이 있습니까? 예를 들어 2를 상상 한 다음 Π , Σ , 0 , 1의 조합에서 나오는 +를 상상할 수는 있었지만 그렇게 할 수 없었습니다.$\mathbb N$$\bf 2$$+$$\Pi, \Sigma, {\bf 0}, {\bf 1}$

HoTT 책의 부록에 설명 된 시스템의 목적은 책에서 사용 된 것과 일치하는 것을 제시하는 것입니다. 이 책은 교육적인 것을 목표로하고 있습니다. 따라서 모든 것을 최소한의 방식으로 수행하는 것은 나쁜 생각입니다. 예를 들어, 친숙한 경우 유도 구조가 어떻게 작동 하는지를 알기 때문에 별도로 소개 합니다.$\mathbb{N}$

0 과 2 만 있으면 일반 형에서 유도 형을 빠르게 시작할 수 있습니다 . 즉시 1 을 0 → 0으로 얻고 2 와 Σ 에서 + 를 얻습니다 . 일단 그것을 얻으면 모든 유한 합 1 + 1 + ⋯ + 1 을 얻습니다 . 이 시점에서 일반적인 대수 데이터 유형을 쉽게 수행 할 수 있습니다.$W$$0$$2$$1$$0 \to 0$$+$$2$$\Sigma$$1 + 1 + \cdots + 1$

을 드롭 하면 Π , Σ , 1 및 2 에서 시작하면 모든 유형이 거주하므로 0을 되돌릴 수 없습니다 .$0$$\Pi$$\Sigma$$1$$2$$0$

, Σ , 0 및 1 만 있다고 가정하십시오 . 그런 다음 2를 만들 수 없습니다. 모든 구성은 0 또는 1 을 돌려주는 것을 보여줄 수 있기 때문 입니다. 사실, 당신은 전혀 재미있는 부양 가족을 만들 수 없습니다. 아래 폐쇄 종류의 큰 패밀리 Π , Σ , 0 과 1 있지만 함유하지 않는 2 는 IS ( - 1 ) (제안) -types.$\Pi$$\Sigma$$0$$1$$2$$0$$1$$\Pi$$\Sigma$$0$$1$$2$$(-1)$