Grothendieck 프로그램이 TCS에 미치는 영향

그로 ndi 디크는 세상을 떠났습니다 . 그는 21 세기까지 계속되는 20 세기 수학에 큰 영향을 미쳤습니다. 이 질문은 Alan Turing의 컴퓨터 과학에 대한 기여 와 같은 스타일 / 정신으로 다소 묻습니다 .

이론적 컴퓨터 과학에 대한 Grothendieck 의 주요 영향 은 무엇입니까 ?

Grothendieck의 불평등 은 기능 분석 분야에서 처음으로 텐서 제품 공간의 기본 규범과 관련이 있음이 입증되었습니다. Grothendieck은 불평등을 "텐서 생산 공간에 대한 미터법 이론의 기본 정리"라고 불렀으며, 1958 년 프랑스어로 제한된 순환 브라질 저널에 현재 유명한 논문으로 출판했다. 이 논문은 Lindenstrauss와 Pelczynski (Grothendieck이 기능 분석을 떠난 후)에 의해 재발견 될 때까지 15 년 동안 대부분 무시되었습니다. 그들은 논문의 주요 결과에 대해 많은 개혁을했으며, 절대 합산 연산자와 인수 분해 규범에 관한 연구와 관련하여 Grothendieck이 이후 에 제기 된 "열린"문제를 해결 한 것을 관찰했습니다.신문이 출판되었습니다. Pisier는 설문 조사 에서 불평등, 변형 및 기능 분석에 대한 막대한 영향에 대해 매우 자세히 설명합니다 .

$$\max\{x^TAy: x \in \{-1, 1\}^m, y \in \{-1, 1\}^n\}$$ $$\max\{\sum_{i,j}{a_{ij}\langle u_i, v_j\rangle}: u_1, \ldots, u_m, v_1, \ldots, v_n \in \mathbb{S}^{n+m-1}\},$$ $\mathbb{S}^{n+m-1}$$\mathbb{R}^{n+m}$. 불평등의 증거는 "반올림 알고리즘"을 제공하며 실제로 Goemans-Williamson의 임의 초평면 반올림이 작업을 수행합니다 (그러나 최적이 아닌 상수를 제공함). 그러나 반올림 알고리즘의 분석이 "전역 적"이어야하므로 목적 함수의 모든 용어를 함께 살펴보아야하므로 Grothendieck의 불평등은 흥미 롭습니다.

그 말에 따르면, 그로 텐 디크의 불평등이 컴퓨터 과학에서 두 번째 (3-4 번째) 삶을 찾았다는 것은 놀라운 일이 아닙니다. Khot과 Naor 는 다양한 애플리케이션과 조합 최적화와의 연결을 조사 합니다.

이야기는 거기서 끝나지 않습니다. 불평등은 양자 역학의 벨 불평등 위반과 관련이 있으며 (Pisier의 논문 참조) Linial과 Shraibman 은 의사 소통 복잡성 작업에 사용되었으며 개인 데이터 분석 (shameless plug) 작업에도 유용합니다 .

Grothendieck의 영향은 유형 이론과 논리에서 느낄 수 있습니다. 예를 들어, Bart Jacobs의 700+ 페이지 볼륨 범주 논리 및 유형 이론 은 다양한 유형 이론 ( 유형 이론, 여기서 )는 Grothendieck 섬유 (직교도 섬유라고도 함) 의 범주 개념을 기반으로합니다 . 마찬가지로, Grothendieck에 기인 한 Topos 의 개념은 논리와 유형 이론에 범주 적 의미론을 제공하는 데 큰 역할을하며, 이는 논리 학자와 이론적 컴퓨터 과학자 모두에게 관심의 대상입니다.X ⊆ { 단순 , 종속 , 다형성 , 고차 $X$$X\subseteq \{ \text{simple},$ $\text{dependent},$ $\text{polymorphic},$ $\text{higher-order}\}$

대수 품종에 대한 포인트 카운팅 공식 의 adic cohomology, etale cohomology 의 모든 응용 프로그램은 그의 작품에 뿌리를두고 있습니다.$p$

Weul 추측에서 나오는 유한 한 분야에 대한 리만 가설의 일반화에 대한 Mulmuley의 비전은 원래 Grothendieck의 이야기 코 호올로 지에서 유익한 결과를 가져온 질문으로 생각할 수 있다고 생각합니다.