모노마 일의 직선 복잡성

를 일부 필드로 보자 . 평소와 같이,에 대한 우리 정의 의 직선 복잡성으로 위에 . 를 의 모노마 이어 세트 , 즉 0이 아닌 계수 로 나타나는 모노마 이어라고 합시다 . $k$ $f\in k[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}]$ $L(f)$ $f$ $k$ $F$ $f$ $f$

이것은 사실이다 ? $\forall m\in F:L(m)\le L(f)$

대한 약한 상한조차 알려져 있습니까? $L(m)$

cc.complexity-theory algebraic-complexity arithmetic-circuits

— 고 라브 진달
소스

답변:

경우 그럼 갖는다 monomials 및 . 계산 인수에 의해 길이 직선 프로그램이 있습니다. 으로 더 monomials을 가지고, 일부 우리는 더 이상 프로그램이 필요합니다. 실제로이 인수는 단수 을 제공합니다 .

f = (Σ_{i = 1}^{n} x_{i})^{2^{n}}

$f=(\Sigma_{i=1}^n x_i)^{2^n}$

(\binom{2^{n} + n - 1}{n - 1}) \approx 2^{n^{2}}

${2^n+n-1\choose n-1} \approx 2^{n^2}$

L (f) = O (n)

$L(f)=O(n)$

2^{O (n \log n)}

$2^{O(n\log n)}$

O (n)

$O(n)$

f

$f$

m

$m$

L (m) = \tilde{Ω} (L^{2} (f))

$L(m)=\widetilde\Omega(L^2(f))$

— 도모토
소스

domotorp의 답변을 기반으로 한 작은 건설적인 예로서, 와 함께 을 취할 수 있고 취할 수 있습니다 .

f = (x + y)^{8}

$f=(x+y)^8$

L (f) = 4

$L(f)=4$

L (x^{7} y) = L (x^{7}) + 1 = 5

$L(x^7y)=L(x^7)+1=5$

— Bruno

@domotorp, 좋은 답변 주셔서 감사합니다. 이것도 상한 인 것 같습니까? 아니면 더 낮은 하한이있을 수 있습니까?

— Gorav Jindal

잘 모르겠지만이 예제가 너무 단순했기 때문에 간격이 더 커질 수 있으며 아마도 기하 급수적 일 수도 있습니다.

— domotorp

나는 선형 상한이 있다는 "증거"를 가지고 있습니다 ... 내가 어디 잘못 되었습니까 (2 차 하한을 입증 했으므로)? 크기가 인 SLP를 사용하면 총 차수 의 다항식을 계산할 수 있습니다 . 이제 는 진 지수 로 최대 의 SLP 크기를 갖습니다 . 학위 - -variate 단항식는 최대 크기의 SLP있다 모든 계산 : (바운드 매우 거친) , 그들의 제품을합니다. 따라서 다항식 고려하면 총 차수는 최대 이며 각 단항의 크기는 최대 의 SLP입니다.

L

$L$

\leq 2^{L}

$\le 2^L$

x^{D}

$x^D$

2 \log D

$2\log D$

D

$D$

n

$n$

2 n \log D + n - 1

$2n\log D+n-1$

x_{i}^{D_{i}}

$x_i^{D_i}$

D_{i} \leq D

$D_i\le D$

f

$f$

2^{L (f)}

$2^{L(f)}$

2 n L (f) + n - 1

$2nL(f)+n-1$ .

— Bruno

@Bruno : 좋은 증거이며 아무런 문제가 없지만 과 을 곱하면 선형이 아닙니다 . 그러나 가 최대 변수 에 의존 할 수 있다는 것을 알고 있으므로 가정 할 수 있으며 , 이는 필요한 2 차 경계를 의미합니다. 따라서 입니다.

n

$n$

L (f)

$L(f)$

f

$f$

L (f) + 1

$L(f)+1$

n \leq L (f) + 1

$n\le L(f)+1$

L (m) = O (L^{2} (f))

$L(m)=O(L^2(f))$

— domotorp 2013

참고 : OP가 명시 적으로 약한 상한을 요구했기 때문에 이것은 이전 주석의 확장입니다.

다항식 의 총 차수는 로 제한됩니다. 각 연산은 다항식 차수의 최대 두 배가 될 수 있기 때문입니다. 따라서 각 에 대해 입니다. $f$ $2^{L(f)}$ $m\in M$ $\deg(m)\le 2^{L(f)}$

이제 일부 변수 및 차수 경우 최대 경우 이진 지수 로 SLP 계산 가 있습니다. 단수 , 각각의 개별적으로 계산 한 다음 수 있습니다. 따라서 여기서 는 의 총 정도입니다 (물론 각 의 상한입니다 ). $x$ $d$ $x^d$ $2\log(d)$ $m=x_1^{d_1}\dotsb x_n^{d_n}$ $x_i^{d_i}$ $L(m)\le 2n\log(d) + (n-1)$ $d$ $m$ $d_i$

함께, : : $m\in M$

L (m) \leq 2 n \log (\deg (m)) + (n - 1) \leq 2 n L (f) + (n - 1) .

$L(m)\le 2n\log(\deg(m))+(n-1)\le 2nL(f)+(n-1).$

이후 번 결론 수 $n\le L(f)+1$

\forall m \in M, L (m) \leq 2 L (f)^{2} + 3 L (f) .

$\forall m\in M, L(m) \le 2L(f)^2+3L(f).$

비고 명시된 바와 같이 한계는 매우 거칠다. 특히, 주어진 의 상한 은 두 번째 단락이 빡빡하지 않다는 것입니다. 그러나 domotorp의 대답은 더 나은 경계를 기대할 수 없으며 에 대한 2 차 의존성을 제거 할 수 없다는 것을 더 정확하게 보여줍니다 . 구조를 강화하기 위해 추가 체인 에서 가장 잘 알려진 구조를 사용할 수 있습니다 . 이 문제에 대한 정확한 범위는 아직 알려져 있지 않습니다. $L(m)$ $L(f)$

— 브루노
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