TCS에서 Riemann 가설 변형의 의미

~ 1 세기가 넘는 오래된 Riemann 가설 은 수학에 깊이 영향을 미치며 이제 수학 이론의 큰 구성이 조건부와 수많은 변형에 조건 적으로 입증되었습니다. 최근에 Riemann 가설을 기반으로 한 TCS의 조건부 결과에 대한 참조를 발견했습니다. 그러므로 궁금합니다.

TCS에서 리만 가설의 주요 의미는 무엇입니까?

시작으로 최근 논문 인 Homomorphism Polynomials 가 Durand, Mahajan, Malod, de Rugy-Altherre 및 Saurab의 VP 를 위해 완성되었습니다 . 논문의 소개에서 :

대수 복잡성 이론에서 가장 중요한 공개 질문 중 하나는 VP와 VNP 클래스가 다른지 여부를 결정하는 것입니다. [13, 12]에서 Valiant에 의해 처음 정의 된이 클래스는 부울 복잡도 클래스 P와 NP의 대수적 유사체이며, P와 NP를 분리하는 데 필수적입니다 (적어도 불균일하고 일반화 된 Riemann 가설을 가정 할 때, 필드 위에 , [3]). $\mathbb{C}$

cc.complexity-theory algebraic-complexity arithmetic-circuits

— vzn
소스

잘 알려진 것은 일반화 된 RH가 우리가 Miller-Rabin의 원시성 테스트를 비 무작위화할 수 있다는 것을 암시한다는 것입니다. 그러나 그와 관련하여 더 깊거나 넓은 것이 있는지는 모르겠습니다.

— usul

흠, 내가 결정적으로 신속하게 큰 소수 찾는 문제에 어떤 관계도 생각 ( 즉, 주어진

진은보다 소수 큰 찾을 수

). 지식이있는 사람이 댓글을 달 수 있기를 바랍니다.

n

$n$

n

$n$

— usul

@usul RH는 모든 큰

에 대해

소수가 있으며 , 이는 다소 사소한 결정 론적 알고리즘을 제공하지만 우리가 원하는 것과는 거리가 멀다는 것을 의미합니다. 또한 RH없이 동일한 실행 시간을 달성하는 방법을 알고 있습니다. polymath 프로젝트 용지 arxiv.org/abs/1009.3956을 참조하십시오 . RH가 중요한 결과라고 가정하면 더 나은 결정 론적 알고리즘이 소수를 찾는다고 생각합니다.

n

$n$

[n, n + n^{0.5 + o (1)}]

$[n, n + n^{0.5 + o(1)}]$

— Sasho Nikolov

또한 RH의 확장은 산술 진행에서 최소 소수에 대해 좋은 상한을 제공합니다 (예 : shoup.net/ntb/ntb-v2.pdf의 섹션 5.5.4 참조 ).

— Alex Golovnev

답변:

첫째, 나는 리만의 가설에 대한 CS의 적용을 알지 못한다. RH 의 일반화 에는 다양한 응용이 있습니다 .

둘째, 용어는 "일반화 된 리만 가설"또는 "확장 된 리만 가설"과 같은 것은 대중적인 믿음과는 달리, 이들 용어는 문헌에서 어떤 종류의 에 대한 RH의 일반화의 느슨한 표시로서 다소 상호 교환 적으로 사용된다 . 그것들은 고정 된 특정한 의미를 갖지 않거나 적어도 다른 저자의 논문 (또는 동일한 저자의 다른 논문)에서 일관성이 없다. $L$

OP에 언급 된 결과는 코이란의 결과에 기초하고있다. 의 실존 이론 (일반적으로 혼동되는 이름 "Hilbert 's Nullstellensatz")은 AM과 다항식 계층 구조 에 속한다 . 그것은 Dedekind 대한 RH를 가정한다 . 특히, 그것은 Chebotarev 밀도 정리의 효과적인 버전에 의존합니다. $\mathbb C$ $\zeta$

CS 애플리케이션의 또 다른 클래스는 모든 사소 차 디리클레 문자 모듈로한다는 사실 악용 가정 일부 원래 케니 때문에, 바흐에 대한 참조를 언급, 사람들 표기법 에서 상수를 개선했습니다 . RH 는 Dedekind 보다 약한 이차 Dirichlet 문자의 RH를 사용합니다. $m$ $\chi(x)=-1$ $x=O((\log m)^2)$ $O$ $L$ $\zeta$ 기능. (실제로 결과는 유한 차수 Hecke 문자에 대해 더 일반적으로 적용되며, 전체적으로 일반적으로 언급 된 Hecke 문자의 대한 RH가 필요합니다 . 이는 실제로 Dedekind 에 대한 RH와 동일합니다 . 나는 이것이 필요하지 않다는 것을 알고있다.) 결과는 Miller-Rabin 원시성 테스트 알고리즘, 또는 제곱근 모듈로 프라임을 계산하기위한 Shanks–Tonelli 알고리즘과 같은 여러 알고리즘을 무작위화할 수 없다는 것이다. $L$ $\zeta$

내가 아는 한, RH는 위의 주석에서 언급했듯이 주어진 간격으로 소수를 결정적으로 찾는 데 유용 하지 않습니다 . 이것은 Cramér의 추측 또는 소수의 격차에 대한 유사한 경계에서 나올 것이지만, RH는 그러한 한계를 입증하기에는 너무 약합니다 (소수 정리의 오류 항은 적어도 대략 상관 없음). $\sqrt x$

— 에밀 제라 벡
소스

나는 GRH / ERH의 사용이 전적으로 일관 적이 지 않다는 것에 동의한다. 그러나 GRH는 Dirichlet 문자와 관련된

함수의 확장이며 ERH는 숫자 필드의

함수의 확장 이라는 점을 항상 배웠습니다 .

L

$L$

ζ

$\zeta$

— François G. Dorais

@ François : 저는 그 용어에 개인적으로 익숙합니다. 그러나 예를 들어, Bach와 Shallit의 잘 알려진 책은이 책을 정확히 반대의 방식으로 정의합니다 (바로 그의 "명백한 경계 ..."논문에서 Bach의 자체 사용법과 모순됨).

— Emil Jeřábek

PPA의 요소가 흥미로운 의미가 아닙니까? arxiv.org/abs/1207.5220

— domotorp

아마도. 이것은 두 번째 문단에서 “결과는 ...와 같은 여러 알고리즘을 무작위화할 수 없다는 것”의 사례이며 , 나는 자신의 연구 결과를 광고로 광고 할 필요는 없다고 생각합니다.

— Emil Jeřábek

확장 된 Riemann 가설을 가정 할 때 LM Adleman과 HW Lenstra는 유한 필드에서 원하는 정도의 돌이킬 수없는 다항식을 찾기 위해 다항식 시간 알고리즘을 제공했습니다 . .pdf

— 린 빙카이
소스