차수 의 모든 QFT를 정확하게 실현할 수있는 유한 한 단일 게이트 세트가 있습니까?

정확한 양자 알고리즘에 대한 아이디어를 고려하고 있습니다. 특히, 임의의 유한 게이트 세트를 통해 다 시간 균일 양자 회로 제품군에 의해 정확하게 결정될 수있는 언어로 구성된 한계를 고려 하고 있습니다. $\mathsf{EQP}$

의해 주어진 양자 푸리에 변환 (QFT) 는 양자 계산 이론의 유명한 부분입니다. 의 경우에는 의 존재 잘 알려진 분해 Hadamards, SWAP 게이트 내로

F_{N} = \frac{1}{\sqrt{N}} [\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 & \dots & 1 \\ 1 & ω & ω^{2} & ω^{3} & \dots & ω^{N - 1} \\ 1 & ω^{2} & ω^{4} & ω^{6} & \dots & ω^{N - 2} \\ 1 & ω^{3} & ω^{6} & ω^{9} & \dots & ω^{N - 3} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 1 & ω^{N - 1} & ω^{N - 2} & ω^{N - 3} & \dots & ω^{(N - 1)^{2}} \end{matrix}] for ω = e^{2 π i / N},

$F_N = {\frac{1}{\sqrt N} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1& \cdots & 1 \\ 1 & \omega & \omega^2 & \omega^3 & \cdots & \omega^{N-1} \\ 1 & \omega^2 & \omega^4 & \omega^6 & \cdots & \omega^{N-2} \\ 1 & \omega^3 & \omega^6 & \omega^9 & \cdots & \omega^{N-3} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & \omega^{N-1} & \omega^{N-2} & \omega^{N-3} & \cdots & \omega^{(N-1)^2} \end{bmatrix}} \quad\text{for $\omega = \mathrm e^{2\pi i/N}$},$

N = 2^{n}

$N = 2^n$

F_{N}

$F_N$

{C Z}_{2^{T}} = d i a g (1, 1, 1, e^{2 π i / 2^{T}})

$\mathrm{CZ}_{2^T} = \mathrm{diag}(1,1,1,\mathrm e^{2\pi i/2^T\!})$

T ⩾ 1

$T \geqslant 1$ Coppersmith 때문에 입니다. 만약

E Q P ∖ P

$\mathsf{EQP} \smallsetminus \mathsf{P}$ , 하나는 이들 중 하나가 QFTs의 사용을 만들 것입니다 희망 수있는 문제를 포함하는 것입니다

F_{2^{n}}

$F_{2^n}$ 작업의 가족을 필요로하는 경우 하나를

F_{2^{n}}

$F_{2^n}$ 은 특정 유한 게이트 세트로 분해됩니다. QFT의 재귀 분해를 사용하면 모든 게이트

{C Z}_{2^{n}}

$\mathrm{CZ}_{2^n}$ 이 단일 유한 게이트 세트로 분해되는 것과 같습니다 .

분명히, Solovay–Kitaev 정리에 따르면, 우리는 게이트 $F_{2^n}$ 또는 $\mathrm{CZ}_{2^n}$ 임의의 대략 보편적 인 게이트 세트로 임의로 근사 할 수 있습니다. 내가 알고 싶은 것은 이러한 오퍼레이터 계열을 정확하게 실현할 수있는 유한 게이트 세트가 있는지 또는 유한 게이트 세트가 존재하지 않는다는 증거가 있는지 여부입니다.

질문. 하나의 분해 거기 $\{ F_{2^n} \}_{n \geqslant 1}$ 유한 게이트 세트 또는이 불가능하다는 증거에 polytime 균일 회로 패밀리는?

quantum-computing circuit-families

— 닐 드 보드 랩
소스

아니요, 전체 제품군 을 하나의 유한 게이트 세트로 분해하지 않습니다 . 이유는 다음과 같습니다. $\{F_{2^n}\}_{n\geqslant1}$

QFT에는 합리적인 수의 복잡한 대수적 폐쇄 인 에 대한 계수 만 포함됩니다 . [ Adleman + Demarrais + Huang–1997 ] 과 유사하게 , 만약 우리가 초월 숫자를 포함한 게이트를 포함한다면, 초월자 최소한으로 선택 하고 게이트 계수를 설명 할 수 있습니다 본질적으로 합리적인 함수 . 이러한 게이트의 곱으로 QFT를 얻으려면 모든 초월 구성 요소가 취소되도록 준비해야합니다 (각 게이트의 단일성을 보장하기 위해 유사한 일이 발생해야합니다). 그러나 모든 초월을 바꿀 수도 있습니다. $\overline{\mathbb Q}$ $\{\tau_1, \tau_2, \ldots\}$ $\overline{\mathbb Q}(\tau_1, \tau_2, \ldots)$ $0$ 모든 계수가 대수적입니다. 따라서 일반성을 잃지 않고 대수 게이트 세트로 제한합니다.

유한 게이트 세트의 계수 위에 모두 한정된도 확장에 포함될 수 하나를 확장하여 구성 할 수있다, 그 계수로 매우. 그러나, 게이트 분명히 위에 체의 확대에 속하는 계수가 정도 무한한 정도, 즉. 따라서 차수 의 QFT 패밀리는 유한 게이트 세트로 분해되지 않습니다. $\overline{\mathbb Q}$ $\mathbb Q$ $\mathbb Q$ $\mathrm{CZ}_{2^n}$ $\mathbb Q$ $2^{n-1}$ $2^n$

결론적으로, 우리는 에 무한한 크기의 순환 고리에 대한 QFT에 의존 하는 알고리즘을 기대할 수 없습니다 . 임의의 순서로 QFT를 사용할 수있는 모든 회로 계열에 대해 동일한 문제가 발생합니다. $\mathsf{EQP}$

— 닐 드 보드 랩
소스