결정 가능한 증거의 평등?

동일한 제안에 대한 두 가지 결정 가능한 증거의 평등의 결정 가능성이 유도 건축의 미적분학에 대한 추가 공리없이 입증 될 수 있는지 알고 싶습니다.

특히, 나는 Coq에 추가 공리가 없다면 이것이 사실인지 알고 싶습니다.

\forall P : Prop, P \lor \neg P \Rightarrow (\forall p_{1} : P, \forall p_{2} : P, {p_{1} = p_{2}} \lor {p_{1} \neq p_{2}})

$\forall P: \texttt{Prop}, P \vee \neg P \Rightarrow (\forall p_1 : P, \forall p_2: P, \{p_1 = p_2\} \vee \{p_1 \neq p_2\})$

감사!

오류 수정을 위해 편집 : Prop보다 명시 적으로 만들려면 2 편집

coq constructive-mathematics calculus-of-constructions

— 아담 바락
소스

당신이 쓴 것은 말이되지 않습니다. 경우 명제가 그 다음이다 증거이고, 당신은 형성 할 수 없습니다 . 당신은 당신의 가설이 될하셨습니까 대신 , 즉, " decidable입니다"?

P

$P$

p : P

$p : P$

p \lor \neg p

$p \lor \lnot p$

P \lor \neg P

$P \lor \lnot P$

p \lor \neg p

$p \lor \lnot p$

P

$P$

— Andrej Bauer

미안 해요, 가설 "을 의미 즉 decidable입니다",

P

$P$

P \lor \neg P

$P \vee \neg P$

— 아담 바락

가지고 수 , 그리고 문은 이후 당신이 쉽게 서식하는 거짓 와 함께 이며 함수 동등성은 명백히 결정할 수 없습니다. 에 대한 다른 조건 이 있습니까?

P

$P$

N \to N

$\mathbb{N} \to \mathbb{N}$

(N \to N) \lor \neg (N \to N)

$(\mathbb{N} \to \mathbb{N}) \vee \lnot(\mathbb{N} \to \mathbb{N})$

i n l (λ x . x)

$\mathsf{inl}(\lambda x.\;x)$

P

$P$

— Neel Krishnaswami

P는 제안이어야합니다. (실제로, 개발 과정에서 나는 이미 기능 확장 성을 사용하고 있으므로 진술은 여전히 나를 붙들 수 있지만 지금은 기능 / 제안 확장을 무시합시다).

— Adam Barak

함수 확장 성은 함수 동등성이 결정 가능하다는 것을 암시하지 않습니다. 그리고 Neel의 대답은 일반적인 경우를 정합니다 .P가 (무인) 무한 유형이면 (추가 공리가 포함되지 않은 경우 일부 유형의 명제 포함), 그 의미는 실패합니다 를 유지합니다 .

P \to P

$P\rightarrow P$

— cody

Neel이 "제안은 유형"에서 작업하는 경우 와 같이 같은 유형을 결정할 수없는 유형을 쉽게 찾을 수 있습니다 (물론 모든 유형이 동일한 유형을 가질 수 있다고 가정하는 것은 일관됩니다). . $\mathbb{N} \to \mathbb{N}$

"제안"을보다 제한적인 유형으로 이해한다면 그 대답은 우리가 정확히 무엇을 의미하는지에 달려 있습니다. 당신이 Prop종류 의 건축 미적분학에서 일하고 있다면 , 결정 가능한 제안이 결정 가능한 평등을 가지고 있음을 보여줄 수는 없습니다. 이는 계산 미적분학 Prop에서 증명 관련 유형의 우주와 동일하기 때문에Prop 과 같은 것을 포함 할 수 있기 때문입니다 . 이것은 또한 Coq의 개념에 대한 정리를 증명할 수 없음을 의미합니다 . $\mathbb{N} \to \mathbb{N}$ Prop

그러나 어쨌든 가장 좋은 대답은 homotopy type 이론에서 비롯됩니다. 제안은 를 만족 하는 유형 입니다 즉, 발의안은 최대 한 가지 요소를 갖습니다 (증거와 관련이없는 진실의 가치로 이해되어야하는 것처럼). 이 경우 제안의 정의가 그 평등을 결정할 수 있음을 즉시 암시하기 때문에 대답은 물론 긍정적입니다. $P$

\forall x, y : P . x = y .

$\forall x, y : P \,.\, x = y.$

"제안"의 의미가 무엇인지 궁금합니다.

— 안드레이 바우어
소스

어떻게 했어?

N \to N

$\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ 내부 Prop? 감사!

— Adam Barak

건축 미적분학에는 아무것도 막지 않습니다

P r o p = T y p e

$\mathtt{Prop} = \mathtt{Type}$ 거기 있습니까?

— Andrej Bauer

여기서 혼동은 "coq 시스템"의 의미에 관한 것입니다. 그것이 "건축의 미적분학"이라면

P r o p = S e t = T y p e

$\mathtt{Prop=Set=Type}$ . 보다 정확한 "1 Impredicative Universe를 갖는 유도 성 구조의 계산"

T y p e

$\mathtt{Type}$ 유니버스 수준 주석이 없으면 의미가 없습니다. 내가 아는 한,

T y p e_{1} = P r o p

$\mathtt{Type_1=Prop}$ 일관된 공리입니다 (미묘한 이유로 EM과 일치하지는 않지만).

— 코디

물론, 우리는 인덱스를

T y p e

$\mathtt{Type}$ . @AdamBarak이 이해해야 할 요점은 다음과 같습니다.

P r o p = {T y p e}_{1}

$\mathtt{Prop} = \mathtt{Type}_1$ Coq에서 모순으로 이어지지 않는 경우, Coq가

P r o p = {T y p e}_{1}

$\mathtt{Prop} = \mathtt{Type}_1$ .

— Andrej Bauer

Coq에서는 기능적 동등성이 결정 불가능하다는 것을 보여줄 수 없기 때문에 여전히 옳지 않습니다. "평등에

N \to N

$\mathbb{N} \to \mathbb{N}$ Martin Escardo는 건설적인 금기를 부릅니다. 그것은 Coq에서 증명되거나 반증 될 수 없습니다. 따라서 올바른 주장은 다음과 같습니다.

P r o p = {T y p e}_{1}

$\mathtt{Prop} = \mathtt{Type}_1$ 그때

N \to N

$\mathbb{N} \to \mathbb{N}$ 명제이고 "평등"

N \to N

$\mathbb{N} \to \mathbb{N}$ "결정할 수 있음"은 입증 할 수 없습니다.

N \to N

$\mathbb{N} \to \mathbb{N}$ 입니다 ") 거짓 decidable입니다.

— 안드레이 바우어