추정에 대한 하한

다음 테스트 문제에 대해 하한이 알려진 경우 ( 이 다른 질문 과 관련하여) 알고 싶습니다 . 음수가 아닌 숫자 시퀀스에 대한 쿼리 액세스 권한이 부여됩니다 및 , 또는 합니다. ε ∈ ( 0 , 1 ) ∑ n k = 1 a k = 1 ∑ n k = 1 a k ≤ 1 − $a_n \geq \dots\geq a_1$$\varepsilon \in (0,1)$$\sum_{k=1}^n a_k = 1$$\sum_{k=1}^n a_k \leq 1-\varepsilon$

(적응) 무작위 알고리즘이 두 경우를 구별하기에 충분하고 필요한 쿼리 (조회) 수는 이상 입니까?$2/3$

나는 합계를 근사하는 관련 문제에 대해 로그 ( ) 상한과 결정적 알고리즘의 해당 문제에 대략 일치하는 하한 을 제공 하는 이전 게시물 을 발견 했습니다 . 그러나 내가 고려중인 특정 문제 (특히 무작위 알고리즘)에 대한 결과를 찾을 수 없습니다.$n$

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편집 : 아래의 대답에 따라, 나는 더 명확해야한다고 생각합니다. 위에서 (특히 하한에 대한 무증상)에서 은 무한대로가는 것으로 보이는 "주요"량이며 은 (임의로) 작음) 상수.$n$$\varepsilon$

내가 보여줄 수있는 하한은 다음과 같습니다. 고정하기위한 것으로 나는 추측 오른쪽 하한은 Ω ( 로그 N ) ,하지만 자연스럽게 내가 잘못 될 수 있습니다.$\epsilon$$\Omega( \log n)$

나는 편의상 줄어드는 순서를 사용할 것이다. 기본 메커니즘은 시퀀스를 블록 으로 나누는 것 입니다. 에서 I 번째 블록이있을 예정 N I 요소 (즉, Σ에게 I를 N 난 = N ).$L$$i$$n_i$$\sum_i n_i = n$

다음에서는 일부 파라미터 δ > 0에 대해 알고리즘이 확률 로 성공하기를 원합니다 .$\geq 1-\delta$$\delta >0$

첫 번째 하한 : .$\displaystyle \Omega\left( \frac{1}{\epsilon} \log \frac{1}{\delta} \right)$

번째의 블록이 갖는 N 난 = 2 개 I - 1 개 있도록 요소 L = LG N . 우리는 상기 모든 요소의 값을 설정 내가 되도록 번째 블록 ( 1 개 + X I ) / ( (2) N I L ) 여기서 X 제가 하나 인 가변 0 또는 1 . 분명히이 시퀀스의 총합은 α = L ∑ i = 1 1 + $i$$n_i = 2^{i-1}$$L = \lg n$$i$$(1+X_i)/(2n_iL)$$X_i$$0$$1$그렇지 않으면확률β가1이고0 인 각Xi를선택한다고 상상해보십시오. α를 추정하려면신뢰할 수있는β추정값이 필요합니다. 미립자, 우리는 기본 구별 할 수 있도록하려면β=1-4ε을, 말을하고,β=1.

$$\alpha = \sum_{i=1}^L \frac{1+X_i}{2n_i L} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2L}\left(\sum_{i=1}^L X_i \right).$$ $X_i$$\beta$$1$$0$$\alpha$$\beta$$\beta = 1-4\epsilon$$\beta=1$

이제 이러한 랜덤 변수의 을 샘플링 하고 Z 1 , … , Z m을 샘플링 된 변수로 가정하십시오. 설정 Y = ∑ m i = 1 ( 1 − X i ) ( 보체 변수 의 합을 취하고 있음 )에 μ = E [ Y ] = ( 1 − β ) m 이 있으며 Chernoff 부등식은 그 경우 β는 = 1 - $m$$Z_1, \ldots, Z_m$$Y = \sum_{i=1}^m (1-X_i)$$\mu = E[Y] = (1-\beta) m$ 다음 μ = 4 ε의 m , 실패 확률은 P [ Y ≤ 2 ε의 m ] = P [ Y ≤ ( 1 - 1 / 2 ) μ ] ≤ EXP ( - μ ( 1 / 2 ) 2 / 2 ) = exp ( − ϵ m / 2 ) . 이 수량을보다 작게 만들려면$\beta =1-4\epsilon$$\mu = 4\epsilon m$

$$P\left[ Y \leq 2\epsilon m \right] = P\left[ Y \leq (1-1/2) \mu \right] \leq \exp \left( -\mu (1/2)^2 / 2 \right) = \exp \left( -\epsilon m / 2 \right).$$ , 우리는 m ≥ 2 가 필요하다$\delta$ .$\displaystyle m \geq \frac{2}{\epsilon} \ln \frac{1}{\delta}$

핵심 관찰은 Chernoff 불평등이 빡빡하다는 것입니다 (모든 매개 변수에 대해 정확하지는 않지만 조심해야합니다.이 경우에는 정확하므로).

두 번째 하한 : .$\Omega( \log n / \log \log n)$

세트 할 일 블록 크기를 N 난 = L I , L = Θ ( 로그 N / 로그 로그 n은 ) 블록의 개수이다. i 번째 블록 의 요소는 α i = ( 1 / L ) / n i 값을 갖습니다 . 따라서 시퀀스의 값의 총합은 1 입니다.$i$$n_i = L^i$$L = \Theta( \log n / \log \log n)$$i$$\alpha_i = \Bigl(1/L\Bigr)/n_i$$1$

이제, 우리는, 임의의 블록을 뜨리는 말을 결정할 수도 한 번째, 그리고 자사 블록에있는 모든 값을 설정 α J - 1 = L의 α의 J (대신 α J를 ). 이것은 j 번째 블록 의 기여 를 1 / L 에서 1 로 증가시키고, 시퀀스의 총 질량을 (거의) 2로 증가시킵니다 .$j$$\alpha_{j-1} = L \alpha_j$$\alpha_j$$j$$1/L$$1$$2$

이제 비공식적으로 임의의 알고리즘은 각 블록의 값을 확인해야합니다. 따라서 시퀀스의 값 이상을 읽어야합니다 .$L$

확률이 인 위의 인수를보다 공식적으로 만들려면 질량 1 의 원래 시퀀스를 입력으로 지정하십시오 (이를 원래 입력이라고 함). 그렇지 않으면 값이 증가한 블록을 임의로 선택하십시오 (수정 된 입력). 분명히, 무작위 알고리즘이 L / 8 미만의 항목을 읽는 경우 수정 된 입력을 감지 할 확률은 (대략) 1 / 8 입니다. 따라서 L / 8 미만의 항목을 읽는 경우이 알고리즘이 실패 할 확률 은 ( 1 - p ) ( 7 $p=1/2$$1$$L/8$$1/8$$L/8$

$$(1-p)(7/8) > 7/16 > 1/3.$$

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추신 : 나는 매개 변수에 더주의를 기울이면 첫 번째 하한을 로 향상시킬 수 있다고 생각합니다 .$\Omega(1/\epsilon^2)$

하한

적어도 쿼리는 두 경우를 구별 할 필요합니다.$\Omega(1/\sqrt{\epsilon})$

시퀀스 고려 주어진 ε , 2 ε , 3 ε , 4 ε이 , ... ,에 해당 되도록 선택 1 + ⋯ + N = 1을 . 특히, 우리는 n ≈ 1 / √를 취할 수 있습니다$a_1,\dots,a_n$$\epsilon,2\epsilon,3\epsilon,4\epsilon,\dots$$n$$a_1+\dots+a_n = 1$ .$n \approx 1/\sqrt{2\epsilon}$

이제 새로운 시퀀스를 생성 ' 1 , ... , ' N 감산하여 상기 시퀀스의 하나의 요소를 변경함으로써 ε을 . 즉, ' 1 = 1 , ' 2 = 2 점을 제외하고, 등, A는 " 나는 = I를 - ε . 공지 사항이 ' 1 + ⋯ + ' N = 1 - ε .$a'_1,\dots,a'_n$$\epsilon$$a'_1=a_1$$a'_2=a_2$$a'_i = a_i - \epsilon$$a'_1 + \dots + a'_n = 1-\epsilon$

얼마나 많은 프로브는 구별 걸립니까 1 , ... , N 에서 ' 1 , ... , ' N을 ? 글쎄, 그것들은 단일 요소 ( i 번째 요소) 에서만 다르므로 일정한 식별 확률을 달성하기 위해서는 Ω ( n ) 프로브가 필요합니다. 이제 n ≈ 1 / √$a_1,\dots,a_n$$a'_1,\dots,a'_n$$i$$\Omega(n)$ ; 우리는Ω(1/$n \approx 1/\sqrt{2\epsilon}$프로브가 필요합니다.$\Omega(1/\sqrt{\epsilon})$

상한

쿼리를 사용하여 두 경우를 구별 할 수 있다고 생각 합니다. 이것이 최적인지 모르겠습니다.$O(\lg(n/\epsilon) [\lg n + 1 / \epsilon^2])$

방법은 다음과 같습니다. 범위 를 다음과 같이 분할 해 봅시다 :$[0,1]$

$$[0,1] = [0,0.25\epsilon/n] \cup (0.25\epsilon/n,0.5\epsilon/n] \cup (0.5\epsilon/n,\epsilon/n] \cup (\epsilon/n,2\epsilon/n] \cup (2\epsilon/n,4\epsilon/n] \cup \dots \cup (\ldots,1].$$

각 이렇게하면, 파티션입니다 내가 값이 위의 범위를 정확히 하나에 해당해야합니다. 우리는 분할 할 수 있습니다 나는 그들이에 다양 한에 따라 값을. 각 내가 값이 범위를 정확히 하나에 해당하고, 특정 범위에 속하는 사람은 모든 정렬 된 순서로 연속적으로 나타납니다. 따라서, 임의의 주어진 범위 [ ℓ , U ] , 우리는 인덱스를 찾을 수 I , J 되도록 I , ... , J ∈ [ ℓ , U ]$a_i$$a_i$$a_i$$[\ell,u]$$i,j$$a_i,\dots,a_j \in [\ell,u]$이진 검색을 사용합니다. 이를 위해서는 이진 검색 이 필요합니다 . 우리가 그렇게했다고 가정합니다.$O(\lg(n/\epsilon))$

이제 각 범위의 값 합계를 추정합니다. 첫 번째 범위는 다른 모든 범위와 별도로 처리됩니다.

• 첫 번째 범위 경우 해당 범위의 값 합계를 0 과 m × 0.25 ϵ / n 사이의 범위로 묶을 수 있습니다 . 여기서 m 은 해당 범위에 속하는 값의 수입니다. 이후 m ≤ N , 바인딩이 절대 오차는 기껏 것이다 0.25 ε .$[0,0.25\epsilon/n)$$0$$m \times 0.25\epsilon/n$$m$$m \le n$$0.25 \epsilon$

• 서로 다른 범위에 대해 O ( 1 / δ 2 ) 임의 프로브를 사용하여 해당 범위의 값 합계를 상대 오차 내에 바인딩 할 수 있습니다 . 여기서 핵심은 해당 범위의 모든 값이 알려진 하한을 가지며 최대 2 배 의 하한입니다. δ = 0.25 ϵ을 선택합니다 .$\delta$$O(1/\delta^2)$$2 \times$$\delta = 0.25 \epsilon$

모든 추정치의 합계하지만 첫 번째 범위의 오류는 대부분의에있을 것입니다 . 제 범위의 추정 오차는 최대가 될 것이다 0.25 ε . 따라서, 이러한 모든 추정치의 합계 총 에러가있을 것이다 ≤ 0.5 ε 개의 구별하기에 충분하고, 하나 의 총 대 1 - ε .$0.25 \epsilon$$0.25 \epsilon$$\le 0.5 \epsilon$$1$$1-\epsilon$