“뱀”재구성 문제

비디오 게임의 복잡성에 대한 작은 글을 쓰는 동안 Nibbler 와 Snake ; 둘 다 평면 그래프에서 재구성 문제로 모델링 될 수 있음을 발견했습니다. 모션 계획 영역에서 이러한 문제가 잘 연구되지 않은 것 같습니다 (예 : 연결된 캐리지 또는 로봇 체인 상상). 게임은 잘 알려져 있지만 관련 재구성 모델에 대한 간단한 설명입니다.

뱀 문제

입력 : 주어진 평면 그래프 , L 개의 자갈 P 1 , . . . , p l 은 노드 u 1 , 에 배치됩니다 . . . , U L 간단한 경로를 형성한다. 자갈은 뱀을 나타내고 첫 번째 p 1 은 그의 머리입니다. 헤드는 현재 위치에서 인접한 자유 노드로 이동할 수 있으며 바디는 그 뒤를 따릅니다. 일부 노드에는 점이 표시되어 있습니다. 머리가 점이있는 노드에 도달하면 몸이$G = (V,E)$$l$$p_1,...,p_l$$u_1,...,u_l$$p_1$ 다음에 자갈 전자 머리의 이동합니다. 뱀의 순회 후에 노드의 점이 삭제됩니다.$e$$e$

문제 : 우리는 뱀이 그래프를 따라 움직일 수 있는지, 목표 구성이 뱀 위치, 즉 자갈의 위치에 대한 전체 설명 인 목표 구성 도달 할 수 있는지 묻습니다 .$T$

점이 사용되지 않더라도 최대 3의 평면 그래프와 임의의 수의 점을 사용할 수있는 경우 SOLID 그리드 그래프에서 SNAKE 문제가 NP-hard임을 쉽게 알 수 있습니다. 점이없는 솔리드 그리드 그래프에서는 상황이 복잡해집니다 (다른 열린 문제와 관련이 있음).

다른 이름으로 문제가 연구되었는지 알고 싶습니다.
그리고 특히 그것이 NP에 있다는 증거가 있다면 ...

편집 : 평면 그래프에서도 문제가 PSPACE- 완전한 것으로 판명되었으며 결과가 매우 흥미로워 서 새로운 문제인지 여부와 알려진 결과가 있는지 확인해야합니다.

간단한 예 (조약돌은 녹색으로 표시되어 있으며 뱀의 머리는 P1입니다).

뱀을 한 위치에서 다른 위치로 옮기는 것은 PSPACE 완료입니다. 뱀은 사소하게 PSPACE에 있습니다. Hearn의 비 결정적 구속 조건 논리에서 PSPACE 경도 감소를 제공합니다.

비 결정적 구속 조건 논리

$1$$2$$\geq 2$$\geq 2$$3$$1$$3$$2$

뱀

우리의 구조에서, 뱀의 머리는 약간의 거리에서 꼬리를 쫓아 갈 것이고 약간의 수정으로 같은주기를 반복해야 할 것입니다. 뱀의 위치를 ​​굵은 선으로 표시하는 그림과 같이 구속 조건 그래프의 각 모서리 (빨간색으로 표시된 모서리)를 포함합니다. 가장자리에는 두 개의 측면 (꼭지점)이 있으며 뱀은 가장자리가 향하는 정점에서 중심 경로를 사용합니다.

가장자리를 뒤집기 위해 뱀은 먼저 중심 경로를 지우고 머리가 반대 정점에 도달하면 중심 경로를 취합니다.

$2$

마지막으로 모든 모서리 가제트의 검은 선이 연결되어 단일 사이클을 형성하므로 뱀의 머리가 꼬리를 쫓습니다. 두 개의 가장자리 가제트 사이에서 검은 색 경로를 충분히 길게 만들면 뱀은 항상 검은 색 경로를 동일한 순환 순서로 통과해야합니다.

검은 색 경로가 항상 평면 방식으로 구성 될 수 있음을 표시하려면 구속 조건 그래프의 스패닝 서브 트리 (아래 그림에서 두꺼운 모서리)를 고려하십시오. 그런 다음 아래 그림과 같이이 가장자리를 따라 검은 색 가장자리를 만들어 평면 그래프를 만들 수 있습니다.

뱀의 목표 위치는 동일한 변환에 의해 도출 될 수 있습니다. 따라서 뱀을 재구성하는 것은 평면 그래프에서도 PSPACE가 완료됩니다.