단어 (즉, 무한 단어)를 받아들이는 오토마타 최소화

Büchi-Automata (또는 Müller-Automata)를 최소화하기위한 표준 접근법은 무엇입니까? 유한 단어에서 일반적인 기술을 이전하는 것, 즉 받아 들여진 상태에서 "실행 중"이라는 단어가 동일한 경우 두 상태를 동일하게 설정하면 작동하지 않습니다. 예를 들어 Büchi-Automoton이 초기 상태와 최종 상태의 두 가지 상태로 구성된 무한한 수의 a를 가진 모든 단어를 받아들이고 a를 읽을 때마다 최종 상태가 입력되고 a가 읽힐 때마다 초기 상태가 입력되는 것을 고려하십시오. 다른 기호를 읽습니다. 위의 정의에서는 두 상태가 모두 동일한 것으로 간주되지만 축소하면 단일 상태로 구성된 오토마타가 생성되어 모든 단어가 허용됩니다.

일반적으로 omega- 정규 언어에는 고유 한 최소 DBW가 없을 수 있습니다. 예를 들어, "무한한 많은 a와 무한한 많은 b"라는 언어에는 두 개의 3 상태 DBW가 있습니다 (그림에서 를 대체 ). ¬ a $\omega$$\neg a$$b$

보다시피, 그것들은 위상 적으로 동등하지 않습니다.

따라서 최소화 문제는 유한 한 경우보다 어렵고 실제로 NP- 완료 입니다.

이 질문은 부분적으로 문제에 대한 잘못된 접근으로 인해 80 년대에 많은 문헌을 만들어 냈습니다. 이것은이 답변에서 요약하려고하는 다소 긴 이야기입니다.

1. 유한 한 단어의 경우

문헌에서 최소 DFA에 대한 두 가지 정의를 찾을 수 있습니다. 첫 번째는 정규 언어의 최소 DFA를 언어를 허용하는 최소 수의 주를 가진 완전한 DFA로 정의하는 것입니다. 두 번째 것은 정의하기는 더 길지만 첫 번째 것보다 수학적으로 더 매력적이며 더 강한 속성을 제공합니다.

모든 q ∈ Q 에 대해 i ⋅ u = q 와 같은 단어 u ∈ A * 가 있는 경우 DFA 에 액세스 할 수 있음을 상기하십시오 . 그것은이다 완전한 경우 Q가 ⋅ A는 모두를 위해 정의된다 Q ∈ Q 와 ∈ .$(Q, A, \cdot, i, F)$$q \in Q$$u \in A^*$$i \cdot u = q$$q \cdot a$$q \in Q$$a \in A$

하자 1 = ( Q 1 , , ⋅ , I (1) , F (1) ) 및 2 = ( Q 2 , A는 , ⋅ , I 2 , F 2 ) 수 개의 완전한 접근을 DFAS. 발 morphism에 1 에 2 함수이다 φ : Q 1 → Q 2 그러한${\cal A}_1 = (Q_1, A, \cdot, i_1, F_1)$${\cal A}_2 = (Q_2, A, \cdot, i_2, F_2)$$\mathcal{A}_1$$\mathcal{A}_2$$\varphi:Q_1 \to Q_2$

1. ,$\varphi(i_1) = i_2$
2. ,$\varphi^{-1}(F_2) = F_1$
3. 모든 및 ∈ , φ ( Q ) ⋅ = φ ( Q ⋅ ) .$q \in Q_1$$a \in A$$\varphi(q)\cdot a=\varphi(q\cdot a)$

이러한 조건은 가 반드시 의심 스럽다는 것을 의미 할 수있다 (따라서 | Q 2 | ⩽ | Q 1 | ). 또한, 대부분의 사람의 존재에 morphism에 1 에 2 이 morphism에 존재하는 경우, 다음 1 및 2 같은 언어를 인식한다. 이제, 하나는 모든 언어에 대한 것을 보여줄 수 L , 고유의 완전한 접근 DFA가 L 수용 L 등을, 그 모든 완전한 접근 DFA에 대한 수용 $\varphi$$|Q_2| \leqslant |Q_1|$${\cal A}_1$${\cal A}_2$${\cal A}_1$${\cal A}_2$$L$${\cal A}_L$$L$$\cal A$$L$, 에서 있습니다. 이 오토 마톤 을 의 최소 DFA 라고합니다 . 다시 참고있는 상태의 수부터 있는 상태의 수보다 작은 , 또한 첫 번째 의미에서 최소한이다.A L L A L A A$\cal A$${\cal A}_L$$L$${\cal A}_L$$\cal A$${\cal A}_L$

불완전한 DFA에 대한 적절한 대수적 정의가 있다는 것도 언급 할 가치가 있습니다 . [Eilenberg, Automata, Languages ​​and Machines , vol. 자세한 내용은 A, Academic Press, 1974]를 ​​참조하십시오.

2. 무한한 단어로 돌아 가기

Shaull의 답변에 표시된 것처럼 첫 번째 정의를 확장해도 작동하지 않습니다. 불행히도 두 번째 정의의 보편적 속성이 몇 가지 특별한 경우를 제외하고는 무한한 단어로 확장되지 않음을 보여줄 수 있습니다.

이야기의 끝입니까? 잠깐만 요, 정규 언어를 받아들이는 또 다른 최소한의 객체가 있습니다 ...

3. 구문 론적 접근

먼저 유한 한 단어로 다시 돌아 갑시다. 언어 리콜 것을 의 된다 모노 이드에 의해 인식 된 있을 경우 surjective 모노 이드 morphism에 과 서브셋 의 되도록 . 다시, 모노 이드의 존재 호출, 신택 틱 모노 이드 의A $L$$A^*$ f : A ∗ → M P M f - 1 ( P ) = L M ( L $M$$f:A^* \to M$$P$$M$$f^{-1}(P) = L$$M(L)$$L$$L$$L$$A^*$ $\sim_L$$L$

4. 결론

$\omega$