문제가 에없는 것으로 알려져 있습니까?

에 속하는 것으로 알려져 있지만 에 속하는 것으로 알려진 문제점은 무엇입니까 ?$\mathsf{BPP}$$\mathsf P$

더 정확하게는, 나는 독립적 인 문제에 관심 이 있는데, 이는 무작위 화가 동등하지 않은 것으로 알려져 있습니다. 예를 들어, 무작위 화 PIT와 다변량 다항식 인수 분해는 동등한 것으로 알려져 있으며 한 가지 문제로 간주합니다.

내 질문의 동기는 말을 흔히이다 "에서 몇 가지 문제가있다 하지에있는 것으로 알려진 "$\mathsf{BPP}$$\mathsf{P}$ 하지만 나는 그들의 목록을 찾을 수 없습니다. 특히,이 범주에서 문제를 인용해야하는 경우, 유한 필드에 대한 일 변량 다항식의 인수 분해 또는 다변량 다항식의 인수 분해를 인용합니다. 예를 들어 그래프 이론이나 공식 언어 이론과 같은 다른 영역에서 다항식 인수 분해와 관련이없는 예제가 있다고 가정합니다.

추신 : 나는이 웹 사이트에 비슷한 질문이 아직 없다는 것이 궁금합니다. 내가 그것을 찾지 못하면 사과합니다!

독립적 인 문제를 요구하는 경우 어떻습니까?

간격의 소수 찾기 , 그 제품의 간격으로 두 개의 소수 찾기 , 제품 간격에 세 소수를 찾기 , 네 찾기 그 생성물 간격 인 소수가 , 그 제품의 간격에 다섯 개 소수 찾기 , .[ N , 9 N / 8 ] [ N , 17 N / 16 ] [ N , 33 N / 32 ] [ N , 65 N / 64 ] $[N, 5N/4]$
$[N, 9N/8]$
$[N, 17N/16]$
$[N, 33N/32]$
$[N, 65N/64]$
$\ldots$

실제로이 중 첫 번째를 해결하기 위해 다항식 알고리즘을 가지고 있다면 다항식 알고리즘을 사용할 수있을 것입니다. 그러나 나는 이것들을 다른 것들로 공식적으로 줄이는 방법을 보지 못했습니다. 물론 문제

구간에서 소수를 찾으십시오.$[N, N+\log^{17} N ]$

이 모든 것을 해결합니다.

격리 복잡성 또는 Schwartz-Zippel lemma 중 하나를 포함하는 매개 변수화 된 복잡성에서 상당히 일반적인 임의성 사용이 있습니다. 대략적으로, 그것은 잠재적 인 솔루션의 큰 열거를 정의하고, 모든 비 솔루션이 "쌍을 이루고"(예를 들어, 두 번 계산 됨) 원하는 솔루션 (들)이 한 번만 계산된다고 주장합니다. 그런 다음 하나의 가장 작은 솔루션을 사용하여 상황을 생성하기 위해 격리 정리를 사용하거나 GF 대해 대응하는 큰 공식 다항식을 정의하고 Schwartz-Zippel을 사용하여 쌍을 이루지 않은 항이 있는지 테스트합니다. (나는 좋은 개요 또는 설문 조사가 있다고 확신하지만, 지금은 내 마음을 미끄러 뜨립니다.)$(2^\ell)$

즉,이 사용법이 BPP와 P의 차이로 이어질 두 가지 경우 만 생각할 수 있습니다.

첫 번째는 가장 짧은 두 개의 비 연속 경로 ( 저자 PDF )에 대한 알고리즘 인 Björklund와 Husfeldt (ICALP 2014)입니다.

두 번째는 매개 변수가있는 문제입니다. 그래프에서 지정된 요소 집합 K를 통해 간단한주기를 찾으십시오 (예 : Steiner주기 문제). 때 ,이 문제는 Björklund, Husfeldt, Taslaman, SODA 2012 (에 의해 BPP에 링크 ). (이전에 결정론적인 알고리즘이 있었지만 에 대한 의존성 이 기하 급수적으로 나빠졌습니다.) 따라서 "log-Steiner Cycle"(또는 호출하고자하는 것) 문제를 정의 할 수 있으며 질문에 맞습니다.| 케이 $|K|=O(\log n)$$|K|$

나는 전문가는 아니지만 BPP 검색 문제 를 BPP 결정 문제 로 결정적으로 줄이는 기술을 사용하여 일부 (자연스럽지 않은) 예제를 직접 파생시킬 수 있습니다 .

P = BPP의 세계에서 Oded Goldreich. 복잡성 및 암호화 연구 2011 : 191-232

특정 페이지에 정리 3.5 : (결정에 검색을 감소) : 모든 BPP-검색 문제에 대한 , 이진 관계가 존재 등을 그 및 의 탐색 문제 해결은 로 표시된 BPP의 일부 결정적 문제로 결정적으로 환원 될 수 있습니다 . 또한, 감소의 시간 복잡성은 대한 솔루션을 찾는 확률 론적 시간 복잡성에서 선형적인 반면, 의 확률 론적 시간 복잡성R R Y E S ⊆ R ⊆ ( { 0 , 1 } * × { 0 , 1 } * ) ∖ R N $(R_{yes},R_{no})$$R$$R_{yes} \subseteq R \subseteq (\{0, 1\}^∗ \times \{0, 1\}^∗) \setminus R_{no}$Π ( R의 Y의 E S , R , N O ) Π ( R Y E S , R , N O$R$$\Pi$$(R_{yes},R_{no})$$\Pi$는 2 차 다항식과 대해 보장 된 결정 절차의 확률 론적 시간 복잡성의 곱입니다 .$(R_{yes},R_{no})$

정리는 일반적인 구성 문제로 확장 될 수 있습니다 (예 : Corollary 3.9 참조 ). 충분히 큰 간격으로 소수를 찾는 문제를 고려하십시오.

고정 된 경우 입력 에서 간격 에서 소수를 찾으십시오N [ N , N + N의 C$c > 7/12$$N$$[N, N + N^c]$

무작위 알고리즘은 예상 다항식 시간에 실행됩니다. 결정 론적 다항식 시간 알고리즘은 알려져 있지 않다. 그러나 BPP = P이면 결정 론적 다항식 시간 알고리즘이 존재해야합니다 (BPP 결정 문제로 줄일 수 있기 때문).