특수한 경우를위한 DFA 교차 알고리즘

특수한 경우 DFA 교차에 대한 효율적인 알고리즘에 관심이 있습니다. 즉, DFA가 특정 구조를 따르거나 제한된 알파벳으로 작동하는 경우. 그러한 경우 알고리즘을 찾을 수있는 소스가 있습니까?

질문을 너무 광범위하게 만들지 않기 위해 다음 구조가 특히 중요합니다. 교차 할 모든 DFA는 이진 알파벳 (0 | 1)으로 작동하며, 상관 없음 기호를 사용할 수도 있습니다. 또한, 모든 상태는 최대 2 개의 전이만있는 K 개의 특수 상태를 제외하고 하나의 전이만 있습니다 (이러한 전이는 항상 0 또는 1이지만 상관 없음). K는 실제 목적으로 10보다 작은 정수입니다. 또한 단일 수락 상태가 있습니다. 또한 교차점은 항상 "스트립"형태의 DFA, 즉 다음 이미지와 같이 분기가없는 것으로 알려져 있습니다.

편집 : 아마도 입력 DFA에 대한 제약 조건에 대한 설명이 명확하지 않을 수 있습니다. 이 단락에서 개선하려고 노력할 것입니다. 입력 T DFA가 있습니다. 이러한 각 DFA는 이진 알파벳에서만 작동합니다. 그들 각각은 최대 N 개의 상태를 가지고 있습니다. 각 DFA의 각 상태는 다음 중 하나입니다.

1) 수락 상태 (단지이며 다른 상태로 전환되지 않음)

2) 동일한 대상 상태로 두 번의 전환 (0 및 1)이있는 상태 (대부분의 상태는이 종류 임)

3) 서로 다른 목표 상태로 전환되는 두 가지 상태 (0 및 1)가있는 상태 (최대 K )

허용되는 상태는 하나 뿐이며 각 입력 DFA 에는 최대 3 개의 K 유형이 있습니다 (3). 또한 모든 입력 DFA의 교차 DFA가 N 보다 작은 크기의 "스트립"(위에서 설명 된 바와 같이)임을 보장한다 .

EDIT2 : 의견에서 DW가 요청한 몇 가지 추가 제약 사항 :

• 입력 DFA는 DAG입니다.
• 입력 DFA는 주석의 DW 정의에 따라 "평준화"됩니다. 즉, 당신은 모든 전환은 정수에서 이동하는 방식으로 모든 주에 다른 정수를 지정할 수 있습니다 U 정수로 V 등이 유 + 1 = 절 .
• 각 입력 DFA에 대한 수락 상태 수는 K를 초과하지 않습니다 .

어떤 아이디어? 감사.

예 , P 내부에있는 DFA 비 공허 삽입 문제의 일부 사례가 있습니다. 제 석사 논문 은이 질문에 전념하고 있지만 불행히도 프랑스어입니다. 그러나 대부분의 결과가 에 나타 납니다 .$[2]$

알파벳이 단항 인 경우 각 DFA에 최대 2 개의 최종 상태가 있으면 문제가 L- 완료되고, 그렇지 않으면 NP- 완료입니다. 다른 경우의 대부분은 오토마타의 전이 단일체에 대한 제한이다. 예를 들어, 아벨 리아 그룹 전이 모노 유 이드의 경우, 각 DFA가 최대 하나의 최종 상태를 가질 때 문제는 이고 그렇지 않은 경우 NP- 완료입니다. 기본 2 그룹 전이 모노 유 이드의 경우, 각 DFA에 최대 2 개의 최종 상태가있을 때 문제는 L- 완료이고, 그렇지 않으면 NP- 완료입니다.$\text{NC}^3$$\oplus$

에서만 찾을 수있는보다 정확한 질문에 대해 말씀 드리겠습니다 . 작동하고 트리 모양의 DFA가 제공 되고, 즉 각 상태 에 대해 에서 까지의 고유 한 경로 가 존재하는 상태 (초기 상태) 가 있다고 가정합니다 . 그런 다음 교차 비 공허를 결정하는 것은 다음과 같습니다.$[1]$$\{0,1\}$$u$$v$$u$$v$

1. 각 DFA에서 하나의 최종 상태에 대해 L 완료
2. 각 DFA에서 2 개의 최종 상태에 대해 NL 완료
3. 각 DFA에서 3 개 이상의 최종 상태에 대해 NP- 완료.

경도 결과는 각각 0, 1 또는 2 번 (포크 한 경우에도) 유지됩니다 ( ). 이제 DFA가 트리 대신 비순환 그래프로 보내지면 각 DFA에서 하나의 최종 상태와 경우에도 문제가 NP 완료된 것입니다 . 감소는 매우 간단하며 Monotone 1-in-3 3-SAT입니다.$K$$K=2$

따라서 아니요 , 귀하의 문제에 효율적인 알고리즘이 있다고 생각하지 않습니다.

이제 오토마타의 수가 고정되어 있다면 최근에 출판 한 Michael Wehar 와 논의하고 싶을 수도있다 .$[3]$

편집 : OP가 자신의 질문을 편집 했으므로 새로운 요구 사항으로 대답을 명확히하겠습니다. NP- 완전 문제 Monotone 1-in-3 3-SAT ( 부정없이 3-CNF의 수식이 제공 되고 각 절에 정확히 하나의 변수를 적용 하는 할당이 있는지 여부를 결정해야 함)를 고려하십시오 . 다음과 같이이 문제를 비 공통 교차 문제로 줄일 수 있습니다. 예를 들어 절의 경우 다음과 같은 오토 마톤을 작성합니다.$x_2 \lor x_3 \lor x_5$

$\hskip2in$

오토마타는 나무 (따라서 DAG)이며 수평을 유지하며 세 가지 최종 상태를 갖습니다. 실제로 DAG에 만족하는 경우 세 가지 최종 상태가 하나의 상태로 병합됩니다. 더욱이, 단지 2 개의 상태 만이 2 개의 (명확한) 발신 전이를 갖습니다.

1. 마이클 블론디 언 Complexité raffinée du problème d' intersection d' automates, M.Sc. 논문, Montréal Université de Montréal, 2012.
2. Michael Blondin, Andreas Krebs et Pierre McKenzie. 파이널 스테이트가 거의없는 교차 유한 오토마타의 복잡성, 계산 복잡성 (CC), 2014.
3. 마이클 위 하르 교차점 비-빈도에 대한 경도 결과. ICALP, 2014.