왜 mod_m 게이트가 흥미 롭습니까?

라이언 윌리엄스 (Ryan Williams) 는 무한한 팬인 (fan-in)과 게이트를 가진 일정한 깊이 회로를 가지고 있으며 가능한 모든 m에 대해 AND, OR, NOT 및 MOD_m을 갖는 문제의 클래스 인 ACC 에 자신의 하한을 게시했습니다 .

MOD_m 게이트의 특별한 점은 무엇입니까?

• 링 Z_m에 대한 산술을 시뮬레이션 할 수 있습니다.
• Ryan의 결과가 나오기 전에 MOD_m 게이트를 믹스에 던지면 알려진 하한이 작동하지 않는 첫 번째 클래스가 제공되었습니다.

MOD_m 게이트를 연구해야 할 다른 자연적인 이유가 있습니까?

$ACC^0$ 자연 복잡성 클래스입니다.

1) Barrington은 해결할 수없는 monoids에 대한 계산은 $NC^1$ 을 캡처 반면 해결할 수있는 monoid는 A C C 0을 캡처 함을 보여주었습니다 $ACC^0$.

2) 최근 한센과 쿠키 는 폴리 크기의 일정한 폭의 평면 분기 프로그램이 정확히 이라는 아름다운 결과를 보여 주었습니다 $ACC^0$. 평탄성 조건이 없다면, 물론 Barrington의 결과를 얻을 수 있습니다 $NC^1$.

$ACC^0$$NC^1$

$S_4$

평면성에 있어서는, 평면성에 의해 정보의 흐름에 제한 / 병목 현상이 발생할 수 있다고 생각하고 싶다. 항상 그런 것은 아닙니다. 예를 들어, 평면 3SAT의 변형은 NP- 완전한 것으로 알려져 있습니다. 그러나 소규모 클래스에서는 이러한 제한이 더 "유지"될 수 있습니다.

유사한 맥락에서, Wigderson은 분리 보조를 사용하여 NL / poly = UL / poly를 보여 주었다. 우리는 NL = UL을 얻기 위해 임의의 DAG에 대한 격리 정리를 무작위 화하는 방법을 알지 못하지만, 평면 DAG에 대해서는 그렇게하는 방법을 알고 있습니다.

$\bmod m$$m$$\bmod p$

구성 일정한 깊이 회로의 클래스 고려 만 의 잎에서 게이트 및 입력과 상수를. 그러면 회로의 크기에 관계없이 그러한 회로에 의해 OR 기능 (예를 들어)을 계산할 수 없음을 쉽게 알 수 있습니다. (이러한 회로는 보다 낮은 다항식을 계산하고 OR의 정도는 이기 때문 입니다.)$\bmod p$$\mathbb{F}_p$$n$

그러나, 이 적어도 두 개의 주요 요소를 갖는 게이트 로만 구성된 회로를 고려 하면 OR 함수에 대한 깊이 회로 (지수 크기)가 있습니다.$\bmod m$$m$$2$

그리고 Ryan의 결과 이전에, 은 우리가 적절한 하한을 가지지 않은 가장 작은 클래스라고 생각했습니다.$AC^0[\bmod 6]$

두 가지 사항을 자세히 설명하면 다음과 같습니다.

우리가 계산을 이해하는 사업에 종사한다면, 모듈 형 계산은 우리의 이해의 경계 중 하나입니다. 모듈 형 카운팅은 계산에서 가장 단순하고 가장 자연스러운 현상 중 하나이지만, 우리는 그것에 대해 거의 이해하지 못하는 것 같습니다. Mod6 게이트 만있는 다항식 크기 ​​깊이 3 회로가 NP의 모든 기능을 계산할 수있는 가능성을 배제 할 수는 없습니다. 그러나 이러한 회로는 지원 크기가 큰 함수 만 계산할 수 있으므로 AND와 같은 매우 간단한 함수는 계산할 수 없습니다. 상한에서 상황은 비슷하지만 사소한 결과는 없습니다.

이러한 질문은 Z_m을 통한 다항식과 행렬에 대한 매우 자연스러운 질문과 밀접한 관련이 있기 때문에 순수 수학 관점에서 매우 흥미 롭습니다. 하나의 예를 들어, 우리는 Z_6에 대한 nxn codiagonal matrix의 순위에 대한 좋은 하한을 가지고 있지 않습니다. Codiagonal 행렬의 대각선에는 0이 있고 대각선에는 0이 아닙니다.