선형 확장 그래프의도 세트

선형 확장 poset의 요소의 선형 차수 ,되도록 에 의미 에서 모두 . $L$ $\mathcal{P}$ $\mathcal{P}$ $x \leq y$ $\mathcal{P}$ $x \leq y$ $L$ $x,y\in\mathcal{P}$

직진 그래프는 2 개 개의 선형 확장되어 인접한 poset의 선형 확장 세트에 그래프 정확히 디 FF 경우 ER 요소 중 하나에 인접 스왑한다.

다음 그림에는 - poset로 알려진 poset 와 선형 확장 그래프가 있습니다. 여기서 입니다. $N$ $a=1234, b=2134, c=1243, d=2143, e=2413$

대체 텍스트 (이 수치는 작업 에서 가져온 것 입니다.)

선형 확장 그래프 (LEG)를 연구 할 때 -LEG의 최대 정도, delta-각각, 최소 정도 인 경우 LEG의 차수는 로 구성되어 있다는 아이디어 ( 추론)를 얻을 수 있습니다 와 그 사이의 각 자연수. 예를 들어,에이어서, 셰브론 알려진 poset을 보자 그 LEG 와 및 , 또한, 항 우리의 추측에 따르면, 4와 3 도의 정점이 그래프에 포함되어 있습니다. 문제는이 추측을 증명하거나 반증 할 수 있는가입니다. $\Delta$ $\delta$ $\Delta,\delta$ $\mathcal{G}$ $\Delta(\mathcal{G})=5$ $\delta(\mathcal{G})=2$

LEG에 대한 정보와 이들이 Mareike Massow의 논문에서 읽을 수있는 모습은 여기에 있습니다 . 쉐브론과 LEG는 논문의 23 페이지에서 볼 수 있습니다.

정도 설정에는 Kapoor SF et al.의 " 그래프에 대한 정도 설정 "이라는 고전 논문이 있습니다.

graph-theory co.combinatorics

— 올렉산드르 본다 렌코
소스

선형 확장 그래프 란 무엇입니까? 다시 말해, 정의를 질문에 접어 좀 더 독립적으로 만들 수 있습니까?

— Suresh Venkat

이 추측은 귀엽습니다. 추측에 대한 동기 부여 또는 알려진 응용 프로그램이 있습니까? (또 다른 추측으로 축소하라.)

— Hsien-Chih Chang 張顯之

@ Hsien-Chih Chang이 추측에 대한 동기는 그것을 증명할 때 주어진 선형 확장 그래프의 최대 및 최소 각도를 알면 설정된 학위의 내용을 알 수 있습니다.

— Oleksandr Bondarenko

나는 어제 그것을 증명했다고 생각합니다. 따라서 여기에 증거의 스케치가 나타납니다. 처음에는 다음과 같은 정리가 입증되었습니다.

레마 . 부분 순서 -선형 확장 그래프 및 - 의 인접한 두 꼭짓점을 보자 . 그런 다음 . $\mathcal{P}$ $G(\mathcal{P})$ $v_1,v_2$ $G(\mathcal{P})$ $|deg(v_1)-deg(v_2)|\leq 2$

증거의 스케치.

동시에, 는 선형 확장으로 , 이들 중 하나, 즉 은 인접한 요소의 하나의 전치 (인접 전치)에 의해 로 변환 될 수 있습니다 . 선형 확장 의 요소 는 최대 두 개에서 비교할 수없는 인접한 요소의 수를 변경할 수 있음을 쉽게 알 수 있습니다 ( 위의 그림에서 와 를 고려하십시오 ) . $v_1,v_2$ $\mathcal{P}$ $v_1$ $v_2$ $d$ $e$ $x_i$ $L=x_1x_2\dots x_n$

만약 가 전혀 전치 될 수 있다면 , 적어도 하나의 이웃, 즉 과 비교할 수 없다 ( , ). 참고 : 전치 전에 우리가 즉시 후 - $x_i$ $x_{i+1}$ $x_i\parallel x_{i+1}$ $x_i\perp x_{i+1}$ $L_1=\dots x_{i-1}x_ix_{i+1}x_{i+2}\dots$ . $L_2=\dots x_{i-1}x_{i+1}x_{i}x_{i+2}\dots$
에서 비 수 의 정점으로 선형 확장도 )가 어떻게 변할 수 있는지 고려해 봅시다 . 처음에 쌍 합니다. 들면 같은 결론은 대칭으로 따른다. $G(\mathcal{P})$ $L$ $x_ix_{i+2}$ $x_{i-1}x_{i+1}$

경우 후 변화하지 않는다. 만약 후 $x_{i+1}\parallel(\perp) x_{i+2}\land x_{i}\parallel(\perp) x_{i+2}$ $deg(L)$ $x_{i+1}\perp(\parallel) x_{i+2}\land x_{i}\parallel(\perp) x_{i+2}$ 씩 증가 (감소)되고 증명 스케치가 완료됩니다. $deg(L)$

정리 . -선형 확장 그래프라고 합시다 . 경우 가 포함되어 정점 와 후가 등의 저 $G(\mathcal{P})$ $G(\mathcal{P})$ $v_1,v_2$ $deg(v_1)=k,deg(v_2)=k+2$ $v_3\in G(\mathcal{P})$ 입니다. $deg(v_3)=k+1$

증거의 스케치.

가정하자 으로 인접한 , 정도 달리 어떤 정점 에서 와 인접 정도가 경우 일부 정점 . $v_1,v_2,deg(v_1)=k,deg(v_2)=k+2$ $G(\mathcal{P})$ $k$ $G(\mathcal{P})$ $k+1$

이전의 정리에서 가있는 경우를 고려해 봅시다. $L_1,L_2$

및

x_{i + 1} ⊥ x_{i + 2} \land x_{i} ∥ x_{i + 2},

$x_{i+1}\perp x_{i+2}\land x_{i}\parallel x_{i+2},$

x_{i - 1} ⊥ x_{i} \land x_{i - 1} ∥ x_{i + 1},

$x_{i-1}\perp x_{i}\land x_{i-1}\parallel x_{i+1},$

따라서 입니다. $deg(L_2)=deg(L_1)+2$

이제 방향으로 을 바꿉니다 . 결국 우리가 어디에서 멈출 수 있는지 쉽게 알 수 있습니다. $x_{i+1}$ $x_1$

일부 . 증명 스케치가 완료되었습니다.

x_{j} ⊥ x_{i + 1} \land x_{i + 1} ∥ x_{j + 1},

$x_{j}\perp x_{i+1}\land x_{i+1}\parallel x_{j+1},$

j < i - 1

$j<i-1$

— 올렉산드르 본다 렌코
소스

x \sim y

$x \sim y$

x

$x$

y

$y$

v_{1}, v_{2}

$v_1,v_2$

x ⊥ y

$x\perp y$