방향 그래프의 커버 시간

그래프를 무작위로 걷 으면 피복 시간 이 모든 정점에 닿은 첫 번째 시간 (예상 단계 수)입니다. 무 방향 그래프로 연결된 경우, 커버 시간은 의해 상한으로 알려져 있습니다 $O(n^3)$ . 커버 시간 지수가 강력하게 연결된 digraph가 있습니다. 이것의 예는 정점 의 방향 지정 사이클 과 모서리 로 구성된 이력 입니다. 정점 부터 시작 하여 임의의 보행이 정점 에 도달하는 데 걸리는 예상 시간 은 입니다. 두 가지 질문이 있습니다. $n$ $(1, 2, ..., n, 1)$ $(j, 1)$ $j = 2, ..., n − 1$ $1$ $n$ $\Omega(2^n)$

1) 다항식 커버 시간을 갖는 알려진 종류의 방향 그래프는 무엇입니까? 이들 클래스는 그래프-이론적 특성 (또는)에 상응하는 인접 매트릭스의 특성 ( )에 의해 특징 지워질 수있다 . 예를 들어, 가 대칭 인 경우 그래프의 커버 시간은 다항식입니다. $A$ $A$

2) 커버 시간이 기하 급수적 인 더 간단한 예 (위에서 언급 한주기 예)가 있습니까?

3) 준 다항식 시간의 예가 있습니까?

이 주제에 대한 좋은 설문 조사 / 책에 대한 조언을 부탁드립니다.

— 시바 킨 탈리
소스

내 순환 예 아마도 관한 그래프 둘레와 약간 일반화 될 수

지수 커버 시간

g

$g$

2^{Ω (n / g)}

$2^{\Omega(n/g)}$

— 데릭 스토리

또한 확장 그래프는 가장 빠른 시간을가집니다.

— 데릭 스토리

Mihail의 논문은 일반 Digraphs 및 일반적인 Markov 체인의 컨버전스 속도를 컨덕턴스 측면에서 어떻게 결합시키는 지 설명했습니다. 그것은 또한 커버 시간을 묶는 데 사용될 수 있습니다 (추측). 참조 : ieeexplore.ieee.org/iel2/260/2317/00063529.pdf

— Zeyu

@ Zeyu, 대답해야합니다!

— Suresh Venkat

"정확한 그래프에 대한 라플라시안과 치어의 불평등"에 관한 Fan Chung의 논문은 아마도 관련이있을 것이다. 또한 Fill의 이전 작업에 대한 포인터도 있습니다. springerlink.com/content/pn149711511373w9

— Chandra Chekuri

답변:

~~분명히 다항식 혼합 시간은 다항식 커버 시간을 의미합니다.~~ (글쎄, 일반적으로. 우리는 고정 확률 이상 필요하지 각 정점에있다.) 그래서 미하일의 종이 확인 컨덕턴스 및 마르코프의 융합 확장기의 체인-A 조합 처리 규칙의 빠른 혼합을 증명 컨덕턴스에 기반한 유 방향 그래프 및 일반 마르코프 체인. $1/poly(n)$

또한 Pingudorandom은 Reingold, Trevisan 및 Vadhan의 일반 서적 및 RL 대 L 문제 에 대한 설명을 참조하십시오 . 미하일의 작업에 따라. 그래프 가 시간 가역적 일 때 절대 값에서 두 번째로 큰 고유 값 인 해당 하는 매개 변수 를 정의했으며, 일반 마르코프 체인에 대해 잘 정의 된 상태를 유지합니다. 그런 다음이 파라미터를 사용하여 의 혼합 시간을 제한합니다 . $\lambda_\pi(G)$ $\lambda_2(G)$ $G$ $G$

— 제유
소스

혼합 시간 동안, 소위 Poinare 상수 (비가역적인 설정으로 스펙트럼 갭의 일반화)를 사용하는 관련 프레임 워크 작업도 있습니다. Laurent Saloff Coste는 이 프레임 워크에서 Markov Chains를 다루는 메모 ( springerlink.com/content/27114435w5149665 )를 보유하고 있습니다 . Tetali 및 Montenegro 의 논문 ( faculty.uml.edu/rmontenegro/research/TCS008-journal.pdf )도 있습니다. 물론 이것은 혼합 시간에 관한 것이지만 Zeyu가 지적한 바와 같이 커버 시간을 제한하는 데 유용 할 수 있습니다.

— Piyush

콜린 쿠퍼와 앨런 프리즈 (Alan Frieze)는 관심있는 임의의 이분법의 맥락에서 일련의 결과를 가지고있다. 때 랜덤 지향 그래프 에서 간단한 랜덤 워크의 속성을 연구합니다 . 그들은 다음을 증명했습니다. $D_{n,p}$ $np=d \log n, d>1$

용 의 커버 WHP 시간, 에 점근 인 . 경우 과 , 커버 시간에 점근 인 . $d > 1$ $D_{n,p}$ $d \log (d/(d-1)) n \log n$ $d=d(n) \rightarrow \infty$ $n$ $n \log n$
경우 과 다음 WHP . $p = d \log n/n$ $d>1$ $C_{G_{n,p}} \sim d \log (d/(d-1)) n \log n$
하자 및하자 나타내고있는 용액 의 . 를 의 거대 성분으로 하자 . 그런 다음 whp $d>1$ $x$ $(0,1)$ $x = 1-e^{-dx}$ $X_g$ $G_{n,p},p=d/n$ . $C_{X_g} \sim \dfrac{dx(2-x)}{4(dx-\log d)} n (\log n)^2$
경우 상수이며, 임의이고 꼭지점 집합 정규적인 그래프 와 다음을 WHP $r \geq 3$ $G_{n,r}$ $r$ $[n]$ $r \geq 3$ . $C_{G_{n,r}} \sim \dfrac{r-1}{r-2} n \log n$
경우 상수이며, 평균 중합도에 우선적으로 부착 그래프이고 다음 WHP $m \geq 2$ $G_m$ $2m$ . $C_{G_m} \sim \dfrac{2m}{m-1} n \log n$
경우 및 에서의 임의 형상 그래프 공 사이즈의 정점의 예상 정도에 점근 같은 것이 다음 WHP $k \geq 3$ $G_{r,k}$ $\mathcal{R}^k$ $r$ $d \log n$ . $C_{G_{r,k}} \sim d \log ( \dfrac{d}{d-1}) n \log n$

Cooper, C., & Frieze, A. 고정 분포 및 임의의 그래프에서 랜덤 워크의 커버 시간을 참조하십시오 . 조합 이론 저널, 시리즈 B. (2011).

— 유호
소스