무차별 대입 검색을 사용하지 않고 두 단어를 구분하는 가장 작은 DFA를 찾으십니까?

두 개의 문자열 x와 y가 주어지면 x를 수락하고 y를 거부하는 최소 크기 DFA를 만들고 싶습니다. 이를 수행하는 한 가지 방법은 무차별 대입 검색입니다. 가장 작은 것부터 시작하여 DFA를 열거합니다. x를 수락하고 y를 거부하는 DFA를 찾을 때까지 각 DFA를 시도하십시오.

x를 수락하고 y를 거부하는 최소 크기 DFA를 찾거나 구축하는 다른 알려진 방법이 있는지 알고 싶습니다. 다시 말해, 무차별 대입 검색을 이길 수 있습니까?

자세한 세부 사항:

(1) 나는 거의 최소 크기의 DFA가 아닌 최소 크기의 DFA를 찾는 알고리즘을 정말로 원합니다.

(2) 최소 DFA가 얼마나 크거나 작은 지 알고 싶지 않습니다.

(3) 바로 여기에 두 개의 문자열 x와 y가있는 경우에만 집중합니다.

편집 :

관심있는 독자를위한 추가 정보 :

와 가 최대 길이의 이진 문자열 이라고 가정 합니다. 를 받아들이고 최대 를 기각 하는 DFA가 있다는 것은 알려진 결과입니다. $x$ $y$ $n$ $x$ $y$ 상태. 약 $\sqrt{n}$ DFA의 진 알파벳과 최대 $n^{\sqrt{n}}$ 상태. 따라서 무차별 대입 접근 방식에서는 이상을 열거 할 필요가 없습니다. $\sqrt{n}$ DFA 무차별 대입 접근은보다 훨씬 더 많은 것을 취할 수 없었습니다. $n^{\sqrt{n}}$ 번 $n^{\sqrt{n}}$

도움이 된 슬라이드 : https://cs.uwaterloo.ca/~shallit/Talks/sep2.pdf

automata-theory dfa fsm

— 마이클 위 하르
소스

@ AndrásSalamon 구별 할 각 세트가 하나의 문자열로만 구성 되어도 여전히 NP-complete입니까? 이것이 합리적으로 다루기 쉬운 것 같아요.

— mhum

@mhum 두 문자열을 분리하는 많은 다른 정규 언어가 있다는 문제가 있습니다. DFA 최소화는 이러한 언어 중 하나에 가장 적합한 오토 마톤을 찾지 만 다른 분리 언어에 대해서는 오토마타와 비교할 수 없습니다.

— David Eppstein

경우

와

길이의 큰 서로 다른 길이이다

, 신속와 DFA 쉽게 찾을 수 있습니다

단지 길이의주기 사용하는 분리형 그들이 상태

분할을하지 않습니다

. 찾기

시도하여

적절한 찾을 때까지 순서대로

. 경우

및

동일 길이 다음이다

x

$x$

y

$y$

n

$n$

O (\log n)

$O(\log n)$

p

$p$

p

$p$

| x | - | y |

$|x|-|y|$

p

$p$

2, 3, 5, \dots

$2, 3, 5,\ldots$

p

$p$

x

$x$

y

$y$

1996 년 논문에서 Robson의 구성은 크기

검색하여 찾을 수있는 간단한 기계를 제공합니다. 두 구성 모두 가장 작은 DFA는 아닙니다.

O (\sqrt{n})

$O(\sqrt{n})$

O (n)

$O(n)$

— Jeffrey Shallit

위에 링크 된 Shallit의 메모에는 분리 문제에 대한 최악의 경우가 알파벳이 이진 인 경우에 대한 유용한 관찰이 포함되어 있습니다. 더 큰 알파벳을 여전히 두 개의 입력 단어를 구별하는 두 개의 하위 세트로 분할하고 처리하는 이진 오토 마톤을 검색하는 것이 항상 가능합니다 한 하위 집합의 문자는 0으로, 다른 하위 집합의 문자는 1로 그러나 최소 분리 자동 장치를 찾는 데 도움이되지 않는 것 같습니다. 원래 알파벳의 추가 정보를 사용하여 이진 알파벳에 대한 매핑보다 더 나은 결과를 얻을 수 있기 때문입니다.

— David Eppstein

in-set 및 out-set 크기가 1. in-words 및 out-words가 주어진 최소 유한 오토마타 와 같은이 최근의 다른 질문의 특별한 경우 . 그 대답은 휴리스틱을 포함한 학습 문학을 나열합니다.

— vzn

실제로이 작업을 수행해야하는 경우 SAT 솔버를 사용합니다.

를 수락 하고 를 거부 하는 상태 의 DFA가 있는지에 대한 질문은 SAT 인스턴스로 쉽게 표현할 수 있습니다. 예를 들어, 한 가지 방법은 부울 변수를 갖는 것입니다. DFA 가 입력 비트 상태 에서 상태 전환되는 경우 는 true 입니다. 그런 다음 DFA임을 적용하기 위해 몇 가지 절을 추가하고 수락 하고 거부 하도록 강제하는 일부 변수와 절을 추가하십시오 . $k$ $x$ $y$ $2k^2$ $z_{s,b,t}$ $s$ $t$ $b$ $x$ $y$

$k$ $k$

SAT로서 이것의 다른 인코딩이 가능하다. 예를 들어 추적 인코딩을 사용할 수 있습니다.

$x$ $m$ $m\lg k$ $s_0,s_1,\dots,s_m$ $x$ $s_i$ $\lceil \lg k \rceil$
$i,j$ $x_i=x_j$ $s_{i-1}=s_{j-1} \implies s_i=s_j$
$y$ $t_0,\dots,t_n$ $y$ $t_j$ $\lg k$ $i,j$ $y_i=y_j$ $t_{i-1}=t_{j-1} \implies t_i=t_j$
$i,j$ $x_i=y_j$ $s_{i-1}=t_{j-1} \implies s_i=t_j$
$s_0=t_0$ $s_0=t_0=0$
$k$ $0 \le s_i < k$ $0 \le t_j <k$ $i,j$
$x$ $y$ $s_m \ne t_n$

이러한 모든 요구 사항은 SAT 절로 인코딩 될 수 있습니다.

$k$ $k$

— DW
소스

문제에 특정 대칭이 있고 솔버에서 인식되는 경우 실제로는 무차별 대입 검색보다 우수하지만 현재 (인간 또는 기계의) 식별 / 분리가 어려울 수 있습니다. 만족도 모듈로 이론 에 대한 새로운 / 관련된 "기술" 과 응답 세트 프로그래밍도 있으며, 그 중 일부에는 "내장"그래프 술어가 있거나 그 정의를 지원할 수 있습니다.

— vzn