대수 변수의 정수 선형 프로그래밍

변수 의 개수 이 고정 된 경우 정수 선형 프로그래밍을 다항식 시간으로 해결할 수 있음을 읽었습니다 예 : . 주어진 크기 입력에 대해 변수의 수가 대수적으로 증가하는 경우 (즉, , 문제는 여전히 다항식 시간에 풀 수 있습니까? 아니면 열린 문제입니까? $n$ $n \in O(1)$ $n \in O(\log_2(N))$ $N$

cc.complexity-theory np open-problem

— 사용자 3613886
소스

입력 크기를 늘리기 위해 사소한 참 제약을 추가 할 수 없습니까?

— joro

입력 크기를 늘리고 싶은 이유는 무엇입니까?

— user3613886

입력을 너무 크게하여 변수의 수는 로그이고 질문에 적합합니다.

— joro

그러나 문제에서 우리는 이미 변수가 입력 크기와 비교하여 로그라고 가정합니다.

— user3613886

모든 인스턴스를 귀하의 것으로 만드는 것에 대해 생각했지만 입력이 기하 급수적으로 증가 할 수 있습니다.

— joro

이 질문에 부분적으로 만 대답 할 수 있습니다.

Lenstra (나중에 Kannan 및 Frank and Tardos에 의해 개선됨)의 결과에 따르면 변수가있는 ILP 는 시간 (ILP 크기의 다항식 시간 로 풀 수 있습니다 . 따라서 변수 수가 경우 ILP는 P에 있습니다. 알고리즘이 알려져 있는지 또는 그러한 알고리즘이 ETH와 모순 되는지 확실하지 않습니다 . $k$ $k^{O(k)}$ $O(\log n/\log\log n)$ $2^{O(k)}$

Daniel Lokshtanov의 논문에서이 정보를 찾았습니다. 관련 참조는 다음과 같습니다.

HW Lenstra. 고정 된 수의 변수를 사용한 정수 프로그래밍. 운영 연구 수학, 8 : 538–548, 1983.
칸난 Minkowski의 볼록 체 정리 및 정수 프로그래밍. 1987 년 12 : 415–440, 운영 연구 수학.
안드라스 프랭크와 에바 타르 도스. 조합 최적화에서 동시 다이 오판 틴 근사치의 적용. Combinatorica, 7 : 49–65, 1987.

— 마이클 람 피스
소스

2 ^ O (k)가있는 알고리즘조차도 지수이기 때문에 고정 p에 대해 O (k ^ p) 알고리즘이 필요하다고 생각합니까?

— user3613886

죄송합니다. 질문과 다른 표기법을 사용했습니다. 함으로써

I는 변수의 수를 의미하고,

입력의 크기는, 소위

알고리즘은 다항식 시간이 될 것인지

k

$k$

n

$n$

2^{k}

$2^{k}$

k = O (\log n)

$k=O(\log n)$

— Michael Lampis

하지만 브 루트 포스되지 않을 것, 당신은 이진 변수를 가지고 가정

2^{k}

$2^k$

— user3613886

물론 @ user3613886이지만 다른 문제 / 질문입니다. 변수가 이진이라는 질문에 약속하지 않았습니다.

— DW

입력 크기를 늘리기 위해 사소한 참 제약을 추가 할 수 없습니까?

— joro