알파벳의 크기 (

허락하다 $\Sigma$알파벳, 즉 비어 있지 않은 유한 집합이어야합니다. 문자열은 다음에서 나오는 요소 (문자)의 유한 시퀀스입니다.$\Sigma$. 예로서,$\{0, 1\}$ 이진 알파벳이고 $0110$ 이 알파벳의 문자열입니다.

일반적으로 $\Sigma$ 하나 이상의 요소를 포함하며 요소의 정확한 수 $\Sigma$중요하지 않습니다. 기껏해야 다른 상수로 끝납니다. 즉, 이진 알파벳, 숫자, 라틴 알파벳 또는 유니 코드를 사용하더라도 실제로 중요하지 않습니다.

알파벳의 크기가 중요한 상황의 예가 있습니까?

내가 관심이있는 이유는 내가 그러한 예 중 하나를 발견했기 때문입니다.

모든 알파벳 $\Sigma$ 우리는 무작위 오라클을 정의합니다 $O_{\Sigma}$ 무작위 요소를 반환하는 오라클이되어야합니다. $\Sigma$모든 요소에 대해 동일한 기회가 리턴되도록 모든 요소에 대한 기회는 $\frac{1}{|\Sigma|}$).

일부 알파벳 $\Sigma_1$ 과 $\Sigma_2$ -크기가 다를 수 있습니다.-액세스 가능한 Oracle 머신 클래스를 고려하십시오. $O_{\Sigma_1}$. 우리는이 클래스의 오라클 머신에 관심이 있습니다.$O_{\Sigma_2}$. 즉, 오라클을 변환하고 싶습니다$O_{\Sigma_1}$ 오라클로 $O_{\Sigma_2}$튜링 머신 사용. 우리는 그러한 Turing 기계를 변환 프로그램이라고 부를 것입니다.

허락하다 $\Sigma_1 = \{ 0, 1 \}$ 과 $\Sigma = \{ 0, 1, 2, 3 \}$. 변환 중$O_{\Sigma_1}$ 오라클로 $O_{\Sigma_2}$ 쉽다 : 우리는 질의한다 $O_{\Sigma_1}$ 두 번, 결과를 다음과 같이 변환합니다. $00 \rightarrow 0$, $01 \rightarrow 1$, $10 \rightarrow 2$, $11 \rightarrow 3$. 분명히이 프로그램은$O(1)$ 시각.

이제하자 $\Sigma_1 = \{ 0, 1 \}$ 과 $\Sigma = \{ 0, 1, 2 \}$. 이 두 언어의 경우 모든 변환 프로그램은$O(\infty)$ 시간, 즉 전환 프로그램이 없습니다 $O_{\Sigma_1}$ 에 $O_{\Sigma_2}$ 그 실행 $O(1)$ 시각.

이것은 모순에 의해 입증 될 수 있습니다 : 변환 프로그램이 있다고 가정하십시오. $C$ ...에서 $O_{\Sigma_1}$ 에 $O_{\Sigma_2}$ 에 실행 $O(1)$시각. 이것은$d \in \mathbb{N}$ 그런 $C$ 최대한 활용 $d$ 에 쿼리 $\Sigma_1$.

$C$ 보다 적게 만들 수있다 $d$특정 실행 경로의 쿼리. 변환 프로그램을 쉽게 만들 수 있습니다$C'$ 그 실행 $C$오라클 쿼리 횟수를 추적합니다. 허락하다$k$ 오라클 쿼리 수입니다. $C'$ 그런 다음 $d-k$ 추가 오라클 쿼리, 결과를 버리고, 무엇을 반환 $C$ 돌아 왔을 것이다.

이런 식으로 정확하게 $|\Sigma_1|^d = 2^d$ 실행 경로 $C'$. 바로 그거죠$\frac{1}{|\Sigma_2|} = \frac{1}{3}$ 이 실행 경로 중 $C'$ 귀국 $0$. 하나,$\frac{2^d}{3}$정수가 아니므로 모순이 있습니다. 따라서 그러한 프로그램이 존재하지 않습니다.

더 일반적으로 알파벳이 있다면 $\Sigma_1$ 과 $\Sigma_2$ 와 $|\Sigma_1|=n$ 과 $|\Sigma_2|=k$에서 변환 프로그램이 존재합니다. $O_{\Sigma_1}$ 에 $O_{\Sigma_2}$ 모든 소수가 소인수 분해에 나타나는 경우에만 $n$ 또한의 주요 인수 분해에 나타납니다 $k$ (따라서 인수 분해에서 소수의 지수는 중요하지 않습니다).

그 결과 우리가 길이의 이진 문자열을 생성하는 난수 생성기가 있다면 $l$, 난수 생성기를 사용하여 숫자를 생성 할 수 없습니다. $\{0, 1, 2\}$ 정확히 같은 확률로.

나는 슈퍼마켓에 서서 저녁 식사를 위해 무엇을 먹을지 고민하면서 위의 문제를 생각해 냈습니다. 코인 토스를 사용하여 선택 A, B 및 C를 결정할 수 있는지 궁금했습니다. 결과적으로 불가능합니다.

형식적 언어 이론에는 2 자 및 3 자 알파벳이 질적으로 다르게 동작하는 몇 가지 예가 있습니다. Kozen은 다음과 같은 좋은 예를 보여줍니다 (그림으로 표시).

알파벳을 보자 $\Sigma$= 표준 숫자 순서와 함께 {1, .., k}이고 sort (x)를 x의 문자가 정렬 된 순서로 나타나는 단어 x의 순열로 정의하십시오. 정렬 정렬 (A) = {sort (x) | 엑스$\in$ A}이며 다음 주장을 고려하십시오.

A에 컨텍스트가 없으면 sort (A)에 컨텍스트가 없습니다.

이 주장은 k = 2에 대해서는 사실이지만 k에 대해서는 거짓입니다. $\ge$ 삼.

PCP 정리에 대한 Dinur의 증거 는 알파벳 크기의 조작에 크게 의존합니다.

구체적으로, 증거의 전체 구조는 그래프 크기 횟수의 로그인 그래프 전력 기술의 반복 적용이다. 각 반복에서 그래프는 정규 확장 그래프로 사전 처리되고, 힘 (알파벳 크기를 날려 버림)에 의해 증폭 된 다음 PCP 구성이 적용됩니다 (각 알파벳 제약 조건은 큰 알파벳 제약 조건으로 전환됨). 작은 알파벳).

프로세스의 암시 적 목표는 UNSAT 값이 일정한 비율이 될 때까지 증폭 단계를 재사용하는 방법을 찾는 것입니다 (PCP 정리 증명). 요점은 알파벳 크기가 매번 되풀이되지 않는 한 결과 그래프가 최종 축소에 필요한 것이 아니라는 것입니다.

예제의 요구 사항은 매우 엄격합니다. 이완하면 전환이 작동하도록 요구하기 만합니다.$O(1)$의 기대 . 에서 균일하게 샘플링 할 수 있습니다$\{0,1,2\}$ 일정한 수의 동전 던지기를 사용하여 기대.

나는 이것에 대한 전문가는 아니지만 한 가지 좋은 예는 알파벳의 크기가 코딩과 간결한 데이터 구조라는 것입니다. 알파벳을 통해 메시지를 나타내고 싶다고 상상해보십시오$\{0,1,2\}$ 알파벳으로 $\{0,1\}$(예 : 바이너리 컴퓨터에 저장). 필요한 공간을 최소화하려고하지만 동시에 메시지의 개별 문자를 빠르게 읽고 쓸 수 있기를 원합니다 ($O(1)$). 이와 같은 문제는 현재 꽤 오랫동안 연구되어 왔습니다. Dodis, Patrascu, Thorup 의 최근 논문 과 그 참고 문헌은 시작하기에 좋은 시점이되어야합니다.

오류 수정 코드에서 오류의 일부를 수정하는 코드에 대한 Gilbert Varshamov 예제 (기본적으로 욕심 많거나 임의의 예제)는 다음과 같이 믿기 때문에 이진 코드와 큰 알파벳에 대한 코드 사이에는 근본적인 차이가있을 수 있습니다. 이진 경우에 단단하고 대수 기하학 코드를 통해 큰 알파벳에 대해 단단하지 않은 것으로 알려져 있습니다. 이로 인해 일부는 큰 알파벳에 대한 오류 수정 코드의 표준 정의가 이진 오류 수정 코드의 올바른 아날로그가 아니라고 추측했습니다.

나는 알파벳 크기의 작은 차이에 대한 내 자신의 연구에서 흥미로운 이론을 발견했습니다. 결과 이론에서 극적인 차이를 만듭니다. 거친 설명 학습자가 숨겨진 회로의 게이트를 무시하고 결과 출력을 관찰 할 수 있으며, 목표는 "기능적으로 동등한"회로를 생산하는 것입니다 : 확률 회로를 학습의 문제는 다음과 같다. 부울 회로의 경우 게이트가 출력에 "영향"을 줄 때마다 해당 게이트에서 회로의 출력으로 영향을 미치는 경로를 분리 할 수 ​​있습니다. 알파벳 크기의 회로$\ge 3$이것은 더 이상 적용되지 않습니다. 즉, 출력 값에 큰 영향을 미치는 게이트가 있지만 출력에 대한 경로에는 영향을 미치지 않는 회로가 있습니다! 우리는이 결과가 놀랍다는 것을 알았습니다.

결과 는 다소 기술적이지만 관심이 있다면 관련 정리 진술에 대해 Lemma 8을 4.1과 대조 할 수 있습니다.