논리 프레임 워크 대 타입 이론

논리 프레임 워크와 형식 이론의 차이점은 무엇입니까? 둘 다 유형과 용어를 가지며 종속적으로 유형이 지정된 람다 미적분학을 기반으로합니다.

우리는 lambda-pi 미적분학을 기반으로 한 Edinburg LF를 가지고 있지만 거기에는 약간의 미묘한 차이가있는 것 같습니다.

lo.logic type-theory

요약. 논리적 프레임 워크는 연역이 구문 적 대상이되는 연역 시스템의 공식화를위한 메타 언어입니다.

물론 메타 언어로 간주되는 것은 매우 모호하며 논리적 프레임 워크의 역사적 발전을 이해하는 것이 도움이됩니다. 첫 번째 논리 프레임 워크는 -calculus를 기반으로하는 de Bruijn의 Automath (1) 입니다. Automath 언어 제품군의 많은 아이디어는 현대 논리 프레임 워크로 향했습니다. -calculi를 기반으로하는 건설적인 유형 이론에 대한 Martin-Löf의 연구 도 영향을 미쳤습니다. $\lambda$ $\lambda$

에든버러의 LF (2)는 매우 영향력있는 논리 프레임 워크입니다. Edinburgh LF는 유형에 따라 단순하게 입력 된 -calculus 를 풍부하게하면 얻을 수있는 것 입니다. 그게 다야. 타입-종속성을 정확하게하기 위해, 함수 공간 연산자 를 타입-추상 형 (일반적으로 으로 타입 을 대체해야합니다 , 종류의 종류 및 종류 추상화를 소개합니다. 규칙 측면에서 키는 에 대한 제거 규칙에 있습니다. : $\lambda$ $A \rightarrow B$ $\Pi x^A. B$ $A \rightarrow B$ $\Pi x^A. B$

\frac{Γ ⊢ 미디엄 : ㅏ \to 비 Γ ⊢ 엔 : ㅏ}{Γ ⊢ 미디엄 엔 : 비} \frac{Γ ⊢ 미디엄 : Π {엑스}^{ㅏ} . 비 Γ ⊢ 엔 : ㅏ}{Γ ⊢ 미디엄 엔 : 비 {엔 / 엑스}}

$\newcommand{\TYPES}[3]{#1 \vdash #2 : #3} \newcommand{\SUBST}[2]{\{#1/#2\}} \frac{ \TYPES{\Gamma}{\color{red}{M}}{A \rightarrow B} \qquad \TYPES{\Gamma}{\color{red}{N}}{A} }{ \TYPES{\Gamma}{\color{red}{MN}}{B} } \qquad \frac{ \TYPES{\Gamma}{{\color{red}M}}{\Pi x^A. B} \qquad \TYPES{\Gamma}{\color{red}{N}}{A} }{ \TYPES{\Gamma}{{\color{red}{MN}}}{B\SUBST{{\color{red}N}}{x}} }$

왼쪽에는 단순하게 입력 된 -calculus에 대한 규칙이 있고 오른쪽에는 왼쪽에 형식 종속성을 일반화하는 규칙이 있습니다. 오른쪽 결론에서 값이 '유형'으로 흘러 들어간다는 것을 알 수 있습니다. $\lambda$

대화 형 증명 도우미 Isabelle은 -calculus 기반의 직관적 인 2 차 논리를 숫자 또는 재귀 데이터 형식없이 논리 프레임 워크로 사용한다고 생각합니다 . 다양한 다른 것들이 제안되었다. $\lambda$

논리 프레임 워크로 -calculi 를 사용하는 것의 한 가지 장점은 프레임 워크의 -binder를 사용하여 범용 정량 자와 같은 바인딩 구성을 구현할 수 있다는 것 입니다. 대부분의 논리 프레임 워크는 표현력이 약합니다. 프레임 워크는 객체 레벨 추론을 지원하지만 특정 객체 레벨 명령문이 정리라는 사실을 넘어서는 메타 이론 이론 추론을 수행하기에는 충분하지 않습니다. 실제로 금속 논리는 일반적으로 너무 약하여 힐버트 스타일의 오브젝트 논리에 대한 추론 정리를 증명조차 불가능합니다. 물론 더 강력한 형식 이론을 논리 프레임 워크로 사용하는 것을 막을 수있는 것은 없습니다. $\lambda$ $\lambda$

이러한 실용적이고 역사적인 이유로 오늘날 사용되는 대부분의 논리 프레임 워크는 -calculi, 즉 유형 이론입니다. 논리적 프레임 워크에 대한 자세한 내용은 (3, 4)를 참조하십시오. $\lambda$

N. de Bruijn : 수학 언어 AUTOMATH, 사용법 및 일부 확장.
RF Harper, F. Honsell, G. Plotkin : 논리 정의를위한 프레임 워크 .
F. 펜싱 : 논리적 프레임 워크.
F. 펜싱 : 논리 프레임 워크-간단한 소개 .

— 마틴 버거
소스

간단하게 입력 된 람다 미적분학과 1 차 논리의 기본을 이미 알고있는 사람에게 적합한 증거 보조 (논리적 프레임 워크)에 대한 입문 서에 대해 알고 있습니까?

— Trismegistos

@Trismegistos 나는 두려워하지 않는다. 특정 조수를 배우는 것이 좋습니다. Agda는 기본적으로 Haskell이기 때문에 가장 쉬운 방법이지만 종속 유형이 있습니다. 내 경험상 논리적 프레임 워크는 다른 차원의 교정 보조자만큼 중요하지 않습니다. 예를 들어 Isabelle은 다른 논리로 인스턴스화 할 수있는 일반적인 증명이므로 실제로 논리 프레임 워크를 노출합니다. 그러나 Isabelle / HOL은 실무에 사용 된 유일한 인스턴스입니다. 모든 증명 전술, 모든 입증 자 지원이 HOL 객체 로직에 대해 작성 되었기 때문입니다. 증명 자의 유용성은 그에 달려 있습니다.

— Martin Berger