두 CNF가 동일한 수의 솔루션을 가지고 있는지 확인하는 복잡성

CNF가 두 개인 경우 할당 횟수가 같으면 "예"라고 답하고 그렇지 않으면 "아니오"라고 대답하십시오.

그것은에 쉽게 알 수있다 우리는이 두 CNF에 대한 해결책의 정확한 번호를 알고있는 경우에, 우리가 그들과 대답은 "예"또는 "아니오"를 campare 때문에. $P^{\#P}$

이 문제의 복잡성은 무엇입니까?

cc.complexity-theory complexity-classes counting-complexity

— 마이크 첸
소스

답변:

문제는 coNP -hard입니다. 이 문제로 UNSAT 문제를 쉽게 줄일 수 있습니다.

보다 정확한 특성은 문제가 C ₌ P- 완전 하다는 것 입니다. 사실, 클래스 C의 하나의 정의 ₌ P는 (일반적으로이 정의의 관점에서 언급되는 바로이 문제에 대한 다항식 시간 많은 일 환원있는 문제의 클래스이다 GAPP의 기능). 그러나 이것이별로 알려지지 않았 으므로이 클래스를 다른 방법으로 정의하겠습니다.

C ₌ P는 다음 문제로 다항식 시간이 많은 문제를 해결할 수있는 문제의 클래스로하자. 부울 회로 φ 와 정수 K (2 진)가 주어지면 만족스러운 φ 할당 수가 K와 같은지 결정 . # 3SAT의 # P- 완전성을 나타내는 표준 감소 에 의해 클래스에 영향을주지 않고 φ 를 3CNF 공식으로 제한 할 수 있습니다 . C ₌ P 클래스 에는 UP , coNP 가 모두 포함 된 US 클래스 가 포함되어 있습니다 .

이 정의에서 문제는 C ₌ P-complete입니다. 실제로 C ₌ P- 경도는 C ₌ P 클래스 (3CNF 공식 사용) 의 정의에서 쉽게 볼 수 있습니다 .

C ₌ P 의 구성원 자격을 증명하기 위해 두 개의 주어진 CNF 공식 φ ₁ 및 φ ₂ 가 동일한 수의 만족할만한 할당을 갖는지 여부를 결정해야한다고 가정하십시오 . 일반성을 잃지 않으면 서 두 수식에 같은 수의 변수 (예 : n) 가 있다고 가정 할 수 있습니다 . 부울 회로 구조 φ 얻어 N 의 할당을 만족 수가되도록 입력으로 +1 비트 φ가 같은지 C ₁ + (2 ^N - (C) ₂ ) (C) ₍₁₎ 및 (C) ₍₂₎φ ₁ 과 φ ₂ 의 만족스러운 할당 횟수입니다 . 그런 다음 c ₁ = c _{2 인} 경우에만 만족스러운 φ 할당 수는 2 ⁿ 입니다.

— 이토 츠요시
소스

@Kaveh : 정교하게 할 수 있습니까?

— 이토 쓰요시

@Kaveh : 아니요, 그건 우리가 원하는 것이 아닙니다. 우리는 φ_1과 φ_2가 같은 수 의 만족 할당을 갖는지 여부를 결정하려고합니다. 반드시 동일한 만족 할당 세트가 아닐 수도 있습니다.

— 이토 쓰요시

@Tsuyoshi :

의 정의에 따라 GI in

입니까? 적어도 GI

라고 생각 합니다.

C_{=} P

$C_=P$

C_{=} P

$C_=P$

\subseteq F P^{C_{=} P}

$\subseteq FP^{C_=P}$

— Mike Chen

@ Mike : 흥미로운 의견 감사합니다. Graph Isomorphism ∈ SPP (Arvind and Kurur 2006 dx.doi.org/10.1016/j.ic.2006.02.002 ) 의 결과에 대해 이야기하고 있습니까? 그렇다면 당신이 옳습니다. SPP는

에 포함되므로 Graph Isomorphism ∈

입니다.

C_{=} P

$\mathrm{C}_=\mathrm{P}$

C_{=} P

$\mathrm{C}_=\mathrm{P}$

— 이토 쓰요시

@Mike : 결과 GraphIso∈SPP 이전에 GraphIsoW LWPP : Köbler, Schöning 및 Torán 1992로 알려졌습니다 . LWPP ⊆ 때문에 WPP ⊆

, 우리는 GraphIso∈ 말을 아빈과 Kurur에 의해 강한 결과를 필요로하지 않았다

C_{=} P

$\mathrm{C}_=\mathrm{P}$

C_{=} P

$\mathrm{C}_=\mathrm{P}$

— Ito Tsuyoshi

원래 질문에 약간의 변형이 있습니다. 하자 입력에 오라클 수 CNF 경우는 1을 출력 가지고 더 CNF보다 용액 . $O$ $(f_1,f_2)$ $f_1$ $f_2$

이 오라클이 주어지면 주어진 CNF 에 대한 솔루션 수를 계산하는 # P- 완전 문제를 해결할 수 있는 폴리 타임 머신 을 구축합니다 . 그 점에 유의 솔루션의 지수 숫자를 가질 수 있습니다. $M$ $\varphi$ $\varphi$

같은 작동 다음 : 그것은 알려진 솔루션의 수, 이진 검색을 사용하여하고 가장 다항식 쿼리에 요청하여 공식을 생성 , 그것은 공식 발견 가지고있는같은과 같은 솔루션의 수 . 마지막으로 찾은 솔루션 수를 출력합니다. $M$ $O$ $\varphi_i$ $\varphi$

이 것을 나타낸다 복잡성 #P있다. $M^O$

— MS 두티
소스

내 무지를 용서하지만 미리 지정된 수의 솔루션으로 수식을 어떻게 생성합니까?

— Giorgio Camerani

M = \sum_{i = 0}^{k} m_{i} 2^{i}

$M = \sum_{i=0}^k m_i 2^i$

S

$S$

i

$i$ where

m_{i} = 1

$m_i=1$ . Make a formula with variables

x_{0}, \dots, x_{k}

$x_0, \ldots, x_k$ and

y_{0}, \dots, y_{k}

$y_0, \ldots, y_k$ . For each

i \in S

$i \in S$ , let

F_{i}

$F_i$ be the following subformula: "All of

{x_{0}, \dots, x_{k - i}}

$\{x_0,\ldots,x_{k-i}\}$ are true AND among

{y_{0}, \dots, y_{k}}

$\{y_0, \ldots, y_k\}$ only

y_{i}

$y_i$ is true."

F_{i}

$F_i$ has

2^{i}

$2^i$ satisfying assignments (the variables

{x_{k - i + 1}, \dots, x_{k}}

$\{x_{k-i+1}, \ldots, x_k\}$ are free), and for

i \neq j

$i\ne j$ , the satisfying assignments of

F_{i}

$F_i$ and

F_{j}

$F_j$ are disjoint due to the

y

$y$ variables. The formula

\underset{i \in S}{⋁} F_{i}

$\bigvee_{i\in S} F_i$ has

M

$M$ satisfying assignments.

— mikero

Note that it is PP-complete to decide whether, given two CNF formulas f_1 and f_2, f_1 has more satisfying assignments than f_2 or not.

— Tsuyoshi Ito

@mikero: Ah, stupid me! I should have imagined that. Thanks for your illuminating explanation.

— Giorgio Camerani

It seems like it's atleast NP-hard as one can easily construct a SAT formula with just one solution. Then by the Valiant-Vazirani theorem, there's a probabilistic reduction from every SAT formula to a set of Unique-SAT problems (determining whether a formula has a unique solution) and comparing those Unique-SAT problems with the constructed SAT formula with just one solution enables you to determine the satisfiability of the SAT formula under consideration.

— Opt
소스

To be precise, the first sentence should mention “under randomized reducibility” (although you mention it in the second sentence).

— Tsuyoshi Ito