복잡성 이론에는 보존 법칙이 있습니까?

몇 가지 예부터 시작하겠습니다. 왜 CVP가 P에 있지만 LP가 P에 있다는 것을 나타내 기가 쉽지 않은가? 둘 다 P- 완전한 문제입니다.

또는 우선 순위를 취하십시오. NP의 프라임 (Pratt 필요) 및 P의 프라임보다 NP의 합성물을 표시하는 것이 더 쉽습니다. 왜이 비대칭 성을 표시해야합니까?

나는 힐버트를 알고, 창의성이 필요하고, 증거가 NP 등으로되어 있다는 것을 알고 있습니다.

"일"에 대한 정량화 가능한 개념이 있고 복잡한 이론에 "보존법"이 있습니까? 예를 들어, CVP와 LP가 모두 P- 완료되었지만 "다른 장소"에서 복잡성을 숨 깁니다 (감소에서 하나 (모든 작업이 축소에서 수행되므로 CVP는 단순합니까?)). 다른 언어 표현력.

다른 사람도 불안하고 통찰력이 있습니까? 아니면 이것이 계산의 본질이라고 으 rug하고 말 / 수용합니까?

이것은 포럼에 대한 첫 번째 질문입니다.

편집 : CVP는 회로 값 문제 이고 LP는 선형 프로그래밍입니다. 혼란을 지적 해 주셔서 감사합니다 Sadeq.

이것은 내 마음에 여러 번 달린 질문입니다.

한 곳은 정보 이론이라고 생각합니다. 여기 내 추측이 있습니다. 문제가 있다면 입력으로 주어진 정보와 알고리즘으로부터받은 정보에 일종의 엔트로피 값을 줄 수 있습니다. 그렇게 할 수 있다면, 알고리즘이 그 문제를 해결하기 위해 필요한 최소한의 정보 획득이있을 것입니다.

내가 알아 내고 싶었던 한 가지 관련이 있습니다. 일부 NP- 완전 문제에서는 P에서 제한된 버전을 찾을 수 있습니다. 그래프가 DAG임을 지정하는 경우 해밀턴 경로를 사용하면이를 해결하기위한 p- 시간 알고리즘이 있습니다. TSP와 같은 다른 문제에는 종종 최적에 가까운 p- 시간 알고리즘이 있습니다. 제한된 p- 시간 알고리즘의 경우 가정 된 추가 정보와 런타임 복잡도 감소 사이에 비례 관계가 있어야합니다. TSP의 경우 우리는 추가 정보를 가정하지 않고 정밀도를 완화하고 있습니다.이 알고리즘은 모든 종류의 알고리즘 정보 획득에 비슷한 영향을 미칠 것으로 예상됩니다.

보존법에 대한 참고 사항

1900 년대 초에는 Emily Noether라는 독일계 미국인 수학자가 거의 알려지지 않았습니다. 무엇보다도 그녀는 수학 역사상 가장 중요한 여성으로 아인슈타인과 힐버트에 의해 설명되었습니다. 1915 년에 그녀는 현재 Noether 's First Theemem으로 알려진 것을 출판했습니다 . 이 정리는 물리적 보존 법칙에 관한 것이며 모든 보존 법칙은 물리적 시스템에서 상응하는 미분 대칭성을 가진다고 말했다. 각도 모멘텀의 보존은 공간의 회전 대칭에서 비롯되며, 선형 모멘텀의 보존은 공간에서 변환이며, 에너지 보존은 시간에 따른 변환입니다. 공식적인 의미로 복잡성을 보존하는 법칙이 있기 위해서는 Langragian 함수에 상응하는 차등 대칭이 필요합니다.

그 이유는 우리가 사용하는 논리 시스템 내에 있다고 생각합니다. 각 공식 시스템에는 일련의 공리 와 일련 의 추론 규칙이 있습니다.

공식 시스템의 증명은 일련의 공식 일 뿐이므로 순서의 각 공식은 공리이거나 추론 규칙을 적용하여 순서의 이전 공식에서 얻습니다. 공식 시스템의 정리는 증거의 마지막 공식 일뿐입니다.

그것은 논리적 시스템의 decidable입니다 가정 할 정리의 증명의 길이는,의 세트에 전적으로 의존 공리 와 추론의 규칙 .

예를 들어, Frege (1879), Nicod (1917) 및 Mendelson (1979) 등 여러 특성이 존재하는 명제 논리를 고려하십시오. (자세한 내용은이 간단한 설문 조사 를 참조하십시오.)

후자의 시스템 (Mendelson)은 세 가지 공리와 하나의 추론 규칙 (modus ponens)을 가지고 있습니다. 이 짧은 특성이 주어지면 와 같이 가장 사소한 이론조차 증명 하기가 실제로 어렵 습니다 . 여기서 hard 는 증거 의 최소 길이 가 높다는 것을 의미합니다 .$\varphi \to \varphi$

이 문제를 증명 복잡성 이라고 합니다. Beame & Pitassi 를 인용하려면 :

논리에 대한 가장 기본적인 질문 중 하나는 다음과 같습니다. 보편적으로 진실한 진술 (인문학)이 주어지면 일부 표준 공리적 증거 시스템에서 진술의 최단 증명의 길이는 얼마입니까? 이 문제의 제안 논리 버전은 정리와 복잡성 이론 모두에서 컴퓨터 과학에서 특히 중요합니다. 중요한 관련 알고리즘 관련 질문은 다음과 같습니다. 타우 톨 로지의 증거를 생성 할 효율적인 알고리즘이 있습니까? 타우 톨 로지의 가장 짧은 증거를 생성하는 효율적인 알고리즘이 있습니까? 이러한 정리 증명과 복잡성에 대한 의문은 NP의 완전성에 관한 Cook의 주요 논문에 특히“정리 증명 절차의 복잡성”이라는 제목의 영감을 주었으며 현재는 Gödel이 폰 노이만에게 보낸 잘 알려진 서한에서 더 일찍 고려되었다.

나는 다른 날에, 같은 물리학에 관한 Feynman의 강의를 재생 하면서 에너지 보존에 관한 4 과를했을 때 같은 질문에 대해 생각하고있었습니다 . 강의에서 Feynman은 (일부 레버 또는 풀리 또는 기타 시스템을 통해) 한 단위의 무게를 거리 x만큼 낮추는 간단한 기계의 예를 사용하고 두 번째 무게를 3 단위로 들어 올리는 데 사용합니다. 무게를 얼마나 올릴 수 있습니까? Feynman은 기계가 가역적이라면 기계의 메커니즘에 대해 아무것도 알 필요가 없으며 블랙 박스처럼 취급 할 수 있으며 항상 가능한 최대 거리를 늘릴 것입니다 ( 이 경우 x / 3).

이것은 계산에 아날로그가 있습니까? 가역적 계산 이라는 아이디어는 Landauer와 Bennett의 연구를 떠올리게하지만 이것이 우리가 관심을 갖는 용어의 의미인지는 확실하지 않습니다. 직관적으로, 우리가 최적의 어떤 문제에 대한 알고리즘을 가지고 있다면, "작업"이 낭비되지 않습니다. 동일한 문제에 대한 무차별 대입 방식은 CPU 사이클을 좌우로 버리는 것입니다. 그러나 두 알고리즘 중 하나에 물리적으로 가역적 인 회로를 구성 할 수 있다고 생각합니다.

계산 복잡성에 대한 보존법에 접근하는 첫 번째 단계는 보존해야 할 것을 정확히 파악하는 것입니다. 공간과 시간은 각각 중요한 측정 기준이지만, 공간 / 시간 상충 관계가 존재한다는 것만으로는 알고리즘에 의해 수행되는 "작업"의 양을 측정하는 데 어느 쪽도 적절하지 않다는 것이 분명합니다. TM 헤드 반전 또는 테이프 셀 교차와 같은 다른 메트릭이 사용되었습니다. 이 중 어느 것도 계산을 수행하는 데 필요한 "작업"의 양에 대한 직감에 가깝지 않습니다.

문제의 반대 측면은 그 작업이 무엇으로 변환되는지 파악하는 것입니다. 프로그램에서 출력을 얻은 후에는 정확히 무엇을 얻었습니까?

보존법의 존재를 시사하는 몇 가지 관찰 :

계산 문제 사이의 변환 으로 다항식 시간 (또는 로그 공간) 계산 가능 축소 를 고려할 경우 알려진 복잡도 클래스에 대한 다음 정의는 "효율적인"변환에서 일부 보존 속성이 존재 함을 나타냅니다. 를 가정하면 "경도"는 보존 된 속성 인 것 같습니다.$<_p$$P\ne NP$

$P=\{L| L<_p HornSAT \}$

$NP=\{L| L<_p 3SAT \}$

$CoNP=\{L| \bar L<_p 3SAT \}$

$NPC=\{L| L<_p 3SAT, 3SAT<_p L \}$

$PC=\{L| L<_p HornSAT, HornSAT<_p L \}$

편집 : 는 은 의 문제의 경도가 보수 작업에서 변하지 않는 반면, 보완이 문제 의 경도를 유지한다는 것은 알려지지 않았습니다 ( 아닌 경우 ).P = { L | L < p H o r n S A T , ˉ L < p H o r n S A T } P N P P = N $P$$P=\{L| L<_p HornSAT, \bar L <_p HornSAT \}$$P$$NP$$P=NP$

타오는 수학에서 난이도를 보존 하는 법칙 이 존재한다고 제안했다 .

그는 일부 수학 증거 의 어려움은 정리 증명 과정에 필요한 노력의 양에 대한 하한을 암시 한다고 주장한다 .