정렬 네트워크에 대해 다 항적으로 많은 0-1 시퀀스를 정렬하기에 충분합니까?

0-1 원칙은 정렬 네트워크가 모든 0-1 시퀀스에 대해 작동하면 모든 숫자 세트에 대해 작동한다고 말합니다. 있는가 네트워크는 S로부터 매 0-1 순서를 정렬하면 그때마다 0-1 서열과의 정렬되도록 크기 S는 다항식 인 N을 ?$S\subset \{0,1\}^n$$S$$n$

예를 들어, 가 최대 2 개의 런 (간격)이 1 인 모든 시퀀스로 구성된 경우 정렬 네트워크 N과 S의 모든 멤버가 N에 의해 ​​정렬 된 경우 N에 의해 ​​정렬되지 않은 시퀀스가 있습니까?$S$$2$$S$

답 : 답과 그 주석에서 볼 수 있듯이 정답은 정렬되지 않은 모든 문자열에 대해 다른 모든 문자열을 정렬하는 정렬 네트워크가 있다는 것입니다. 이에 대한 간단한 증거는 다음과 같습니다. 문자열 이 i < k 이고 s k = 1이 되도록 s i = 0이 되도록하십시오 . s 가 정렬되지 않았 으므로 정렬 후 s k 는 0 이어야합니다 . 비교 (K)를 매와 내가 되는 s의 I를$s=s_1\ldots s_n$$s_i=0$$i<k$$s_k=1$$s$$s_k$$0$$k$$i$ . 이어서 각 쌍 비교 ( I , J ) 되도록 난 ≠ k는 와 J ≠ K 여러번. 전체 문자열 정렬이 잎을 위해 가능한 제외시켰다 님의 K 에 대한 정렬되지 않은되고, S 등이 기타 특정 문자열 1 '초 이상 의 . 이제 s k 가 s에 들어가야하는 곳을 제외하고 i = n에 대해 s k 를 1로 낮추었습니다. 이것은 s 이외 의 모든 것을 정렬합니다.$s_i=1$$(i,j)$$i\ne k$$j\ne k$$s_k$$s$$1$$s$$s_k$$i=n$$1$$s_k$$s$$s$

업데이트 : 네트워크 깊이를 제한하면 어떻게 될지 궁금합니다 .$O(\log n)$

그렇지 않은 것 같습니다. Ian Parberry는 Chung과 Ravikumar의 논문을 참조 하며 모든 비트 열을 1 개만 정렬하는 정렬 네트워크를 재귀 적으로 구성하고 정렬 네트워크를 확인하는 문제는 - N P complete 라고 추론합니다 . 원본 논문을 바로 찾을 수는 없지만 확실히 내 직감과 일치합니다.$co$$NP$

추가 편집 : 실제로 정확히 하나의 문자열이 누락 된 네트워크를 찾는 것이 매우 쉽습니다. 놓칠 문자열은 입니다. 이제 마지막 n - 1 비트를 정렬 한 다음 첫 번째 n - 1 비트 를 정렬하는 회로가 필요합니다 . 이 회로는 적어도 2 개의 1로 모든 것을 정렬하고 분명히 0으로 된 문자열을 정렬하며 0으로 시작하는 문자열을 정렬합니다 .$(1,0,\ldots,0)$$n-1$$n-1$$1$$0$