EXPTIME-complete 문제에 대한 비 결정적 알고리즘이 얼마나 빨리 를 암시해야 합니까?

EXPTIME-complete 문제에 대한 비 결정적 알고리즘이 얼마나 빨리 내포해야 하는가? 다항식 시간 비 결정적 알고리즘은 이지만 아무도 믿지 않기 때문에 즉시이를 암시합니다 . 대수를 올바르게 수행했다면 (아래 참조) 시간 계층 정리는 여전히 모든 다항식 대해 실행 시간에 의미를 부여 하지만 느린 알고리즘으로 결과를 줄 수있는 효율적인 축소와 관련된 완전한 문제가 있음을 알고 있습니다. 또는 와 같은 것을 알고있는 EXPTIME-complete 문제가 있습니까? $P \neq NP$ $P \neq EXPTIME$ $NP = EXPTIME$ $P \neq NP$ $O(2^n/f(n))$ $f(\cdot)$ $2^n/n$ $2^n/n^2$ 비결정론으로 충분합니까?

"대수"에 대한 설명 : 는 패딩 인수로 을 의미 하므로 EXPTIME 완료 문제에 대한 비 결정적 알고리즘도 NEXPTIME 완료 문제에 대한 알고리즘입니다. 초 다항식 경우 NTIME 사용하여 줄일 수 있기 때문에 비 결정적 시간 계층 정리와 모순 됩니다. $P = NP$ $EXPTIME=NEXPTIME$ $2^n/f(n)$ $f(\cdot)$ $L \in$ $(2^n)$

cc.complexity-theory

— 익명
소스

시간 계층 정리에서 모순을 얻으려면 실제로 실행 시간이 필요하다고 생각합니다 . 또한 나는 이것이 거의 들리지 않는다고 생각합니다.

2no(1) $2^{n^{o(1)}}$

— Sasho Nikolov

f $f$

⊆ $\subseteq$

(f(n)) $(f(n))$

⊈ $\not\subseteq$

추신 : 계정을 등록하면 질문을 더 쉽게 편집 할 수 있습니다.

— Kaveh

만약

이

이고

가

이고

가 시간

에서

로 환원 될 수 있도록 인 경우 Sasho가 정확하다고 생각 합니다.

이면 여전히

EXPTIME=NEXPTIME $EXPTIME=NEXPTIME$

L $L$

EXPTIME $EXPTIME$

L′ $L'$

NEXPTIME $NEXPTIME$

L′ $L'$

L $L$

O(nk) $O(n^k)$

의 인스턴스가

보다 큰

일 수 있으므로

모순없이. L∈NTIME(2n√k) $L \in NTIME(2^{\sqrt[k]{n}})$

L $L$

O(nk) $O(n^k)$

L′ $L'$

— Joe Bebel

답변:

나는 그것을 돌리는 것이 더 쉽다고 생각합니다.

만약 , 다음 일부의 상수에 대한 , 및 . 이후 포함하지 않는 $\mathsf{P}=\mathsf{NP}$ $\mathsf{NTIME}(T(n)) \subset \mathsf{DTIME} ((T(n))^c)$ $c$ $T(n) > n$ $\mathsf{DTIME} ((T(n)^c)$ 의 모든 문제를 말하고, 우리는 해결할 수없는 이러한 수단 에 일부 $\mathsf{DTIME}(T(n)^{c}\log T(n)) \subset \mathsf{DTIME}(T(n)^{c+1})$ $\mathsf{DTIME}(2^n)$ $\mathsf{NTIME} (2^{\epsilon n})$ $\epsilon$ . 따라서 준 선형 감소 하에서 에 대해 완료된 문제에 대한 비 결정적 시간 알고리즘은 를 증명하기에 충분할 것 입니다. $2^{o(n)}$ $\mathsf{DTIME} (2^n)$ $\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$

— 러셀 임 팔리 아초
소스

의미 하는 이유에 대해 간략히 설명해 주셔서 감사합니다 . DTIME(2n)⊆NTIME(2o(n)) $DTIME(2^n) \subseteq NTIME(2^{o(n)})$

P≠NP $P \neq NP$

— Michael Wehar

그리고 결정 론적 또는 비결정론 적 시간 계층 정리가 사용될 수 있음을 지적 해 주셔서 감사합니다. :)

— Michael Wehar

간단한 응답 : 각각에 대해 - 일부 상수가 문제 같은 그 우리의 문제를 해결할 수 있다면 $EXPTIME$ $hard$ $c$ 다음입니다. $NTIME(2^{o(n^{\frac{1}{c}})})$ $P \neq NP$

참고 : 상수 는 축소로 인한 인스턴스 크기 폭발에서 비롯됩니다. $c$

정당성 하자 나타내는 - 문제를. 모든 문제가 있음을 의미 다항식 시간 환원입니다 . 사실 우리는 더 많은 것을 보여줄 수 있습니다. $X$ $EXPTIME$ $hard$ $EXPTIME$ $X$

시간 제한 결정 론적 튜링 기계 의 수용 문제 는 에 있으므로 환원 할 수있는 다항식 시간 입니다. $2^n$ $DTIME(n \cdot 2^n) \subseteq EXPTIME$ $X$

따라서, 모든 문제가 인스턴스 크기 블로우 업이 로 환원 가능한 다항식 시간이 되도록 고정 상수 가 있어야합니다 . 즉, 크기 N의 인스턴스는 크기의 경우에 감소된다 에 대한 . $c$ $DTIME(2^n)$ $X$ $O(n^c)$ $O(n^c)$ $X$

이제 $X \in NTIME(2^{o(n^{\frac{1}{c}})})$ , then $DTIME(2^n) \subseteq NTIME(2^{o(n)})$ . However, this implies $P \neq NP$ (see below for details).

Additional Details: One can show that $P=NP$ $\Leftrightarrow$ $\exists c^{\prime}$ $\forall k$ $NTIME(n^k) \subseteq DTIME(n^{c^{\prime}k})$ .

In other words, if you can solve an $NP$ - $complete$ problem in polynomial time, then there is a uniform way of speeding up any problem in $NP$ .

Now, let's suppose that $P=NP$ . By the preceding (with $k$ =1) we get a constant $c^{\prime}$ such that

$NTIME(n) \subseteq DTIME(n^{c^{\prime}}).$

Next, we can use padding to scale up this inclusion and get

$NTIME(2^{n}) \subseteq DTIME(2^{c^{\prime}n}).$

Then, by the deterministic time hierarchy theorem, we have

$NTIME(2^{n}) \subseteq DTIME(2^{c^{\prime}n}) \subsetneq DTIME(2^{(c^{\prime}+\epsilon)n})$ for any

$\epsilon > 0$ .

Therefore, we couldn't have $DTIME(2^{(c^{\prime}+\epsilon)n}) \subseteq NTIME(2^{n}).$

Further, we couldn't have $DTIME(2^{n}) \subseteq NTIME(2^{o(n)})$ because by padding we would get $DTIME(2^{(c^{\prime}+\epsilon)n}) \subseteq NTIME(2^{o(n)})$ .

Further Question: Does anyone have any simple examples of $EXPTIME$ - $complete$ problems where we can easily determine the instance size blow-up constant $c$ ?

— Michael Wehar
소스

The acceptance problem for

$DTIME(2^n)$ is itself

$EXPTIME$ -complete, that is, the language

$L = \{\langle T, x, 1^m \rangle\}$ consisting of DTMs

$T$ that on input

$x$ accept within

$2^m$ steps, because every language

$L' \in EXPTIME$ has some

$T$ that accepts

$x \in L'$ in time

$2^{O(|x|^k)})$ for some

$k$ , so that proper choice of

$m = O(|x|^k)$ reduces

$L'$ to

$L$ . In particular the constant (

$c=1$ ) then seems to show that the speedup (that is,

$f(n)$ ) must be exponential if to show

$P \ne NP$ , if you choose this particular

$EXPTIME$ -complete language.

— Joe Bebel

@JoeBebel Hi Joe, thanks for the comment. I think it's valuable that you further considered this problem

$L$ . Here, we can say more than just

$L \in NTIME(2^{o(n)})$ implies

$P \neq NP$ . For this particular artificial problem

$L$ , we may be able to say something like for any

$k$ ,

$L \in NTIME(2^{\frac{n}{k}})$ implies

$NTIME(n) \nsubseteq DTIME(n^{k-\epsilon})$ for all

$\epsilon > 0$ .

— Michael Wehar