다음과 같은 직접 합 속성이있는 함수가있는 것으로 알려져 있습니까?

이 질문은 부울 회로의 회로 복잡성 프레임 워크 나 대수 복잡성 이론의 프레임 워크 또는 다른 많은 설정에서 질문 할 수 있습니다. 인수를 세면 기하 급수적으로 많은 게이트가 필요한 N 개의 입력에 부울 함수가 있음을 쉽게 알 수 있습니다 (물론 명백한 예는 없습니다). 총 입력 수가 MN이되도록 M 개의 개별 입력 세트에서 동일한 정수 M에 대해 동일한 함수 M을 평가한다고 가정합니다. 즉, 을 평가하려고합니다 은 매번 같은 함수 에 대해$f(x_{1,1},...,x_{1,N}), f(x_{2,1},...,x_{2,N}),...,f(x_{M,1},...,x_{M,N})$$f$

문제는 다음과 같습니다. 함수 시퀀스 (각 N에 대해 하나 의 함수)가 존재하여 임의의 N에 대해 임의의 M에 대해 필요한 총 게이트 수는 지수 함수의 최소 M의 M 배와 같습니다. 엔? 이 계산 결과가 모든 M에 적용되기를 원하기 때문에 간단한 계산 논증은 효과가없는 것 같습니다. 대수 복잡도 이론 및 기타 영역 에서이 질문에 대한 간단한 유사체를 생각해 낼 수 있습니다.$f$

음, 그것은 거짓입니다 : M * exp (N)보다 훨씬 적을 수있는 O (N (M + 2 ^ N)) 게이트 만 사용하여 모든 f의 M 사본을 평가할 수 있습니다 (사실 선형 상환 지수 M의 복잡성). 참고 자료는 기억 나지 않지만 다음과 같이 될 수 있다고 생각합니다.

먼저 상수 0 ... 2 ^ N-1 인 2 ^ N 가상 입력을 추가하고 이제 xi로 i 번째 N 비트 입력을 나타냅니다 (i <= 2 ^ N의 경우 xi = i가 있고 2 ^ N <i <= 2 ^ N + M 원래 입력이 있습니다). 이제 우리는 각각의 M + 2 ^ N 입력에 대해 삼중 항을 생성합니다 : (i, xi, fi) 여기서 fi는 f (i) 첫 2 ^ N 입력 (회로에 고정 된 상수)에 대해 f (i)입니다. 그렇지 않으면 "*" 이제 우리는 키 xi에 따라 삼중 항 (i, xi, fi)을 정렬하고, j의 삼중 항을 (i_j, x_j, f_j)로하자. 여기서 g_j를 허용함으로써 삼중 항 (i_j, x_j, g_j) f_j가 "*"가 아닌 경우 f_j이고, 그렇지 않으면 g_j를 g_ (j-1)로 둡니다. 이제 i_j 키에 따라 새 삼중 항을 다시 정렬하면 올바른 위치에 정답이 표시됩니다.

찾고있는 직접 합 현상의 가능성을 더욱 제한하는 또 다른 결과가 있습니다. Shannon의 잘 알려진 초기 결과 (Lupanov에 의해 강화 됨)는 모든 부울 함수가 크기 회로에 의해 계산 될 수 있음을 보여 주었고 Shannon의 계수 인수에 의해 이것은 임의 함수에 대해 엄격합니다. 적어도 m의 중간 값에 대해 , 임의의 f 의 m 개의 인스턴스를 계산하는 회로 복잡도는 m 2 n / n 으로 스케일링 될 것이라고 생각할 수있다 . 그러나 Dietmar Uhlig는$O(2^n/n)$$m$$m$$f$$m 2^n/n$

"여러 입력 값에 대한 부울 함수를 계산하는 네트워크"

$m = 2^{o(n/\log n)}$$m$$f$$O(2^n/n)$$m = 1$

온라인에서 비 게이팅 된 사본이나 저자의 홈페이지를 찾을 수 없지만이 절차에서 논문을 발견했습니다.

부울 함수 복잡성 (런던 수학 학회 강의 노트 시리즈)

대수의 복잡성에 관해서는 지수 복잡성이 지수 이하의 상각 복잡성으로 내려가는 예를 모르겠지만 적어도 M 개의 분리 된 사본의 복잡성이 단일 사본의 복잡도의 M 배보다 훨씬 적을 수있는 간단한 예가 있습니다. :

"무작위"n * n 행렬 A의 경우 A로 정의 된 이중선 형태의 복잡도 (함수 f_A (x, y) = xAy, 여기서 x 및 y는 길이 n의 2 벡터 임)는 Omega (n ^ 2 )-상수를 넣으려면 회로에 n ^ 2 개의 "장소"가 필요하기 때문에 "계산 형"차원 인수로 표시 할 수 있습니다. 그러나 n 개의 서로 다른 벡터 쌍 (x ^ 1, y ^ 1) ... (x ^ n, y ^ n)을 사용하면 x를 n * n 행렬 X의 행에 넣을 수 있으며, y는 행렬 Y의 열에 넣은 다음 XAY의 대각선에서 모든 답 x ^ iAy ^ i를 읽습니다. 여기서 이것은 빠른 행렬 곱셈을 사용하여 n ^ 2.3 (또는 이와 같은) 연산으로 계산됩니다. ^ 2.

이것은 본질적으로 논의 된 내용을 보여주는 Wolfgang Paul에 의해 연구되고 해결되었습니다.