PLANAR SAT에 대한 서브 지수 알고리즘이 알려져 있습니까?

일반 그래프에서 지수가되는 일부 NP-hard 문제는 트리 폭이 최대 이고 트리 폭에서 지수 이기 때문에 평면 그래프에서 하위 지수입니다. $4.9 \sqrt{|V(G)|}$

기본적으로 NP-complete 인 PLANAR SAT에 대한 하위 지수 알고리즘이 있는지에 관심이 있습니다.

하자 변수에 CNF 식 수 는 AND 번째 절은 . $\phi$ $x_i$ $i$ $c_i$

입사 그래프 P. 5 의 정점에 및 에지 IFF 또는 . $G$ $\phi$ $V(G)=\{x_i\} \cup \{c_i\}$ $(x_i,c_i)$ $x_i \in c_i$ $\lnot x_i \in c_i$

$\phi$ 발생률 그래프가 평면 인 경우 는 PLANAR SAT에 있습니다.

와 관련하여 PLANAR SAT에 대한 지수 알고리즘이 있습니까? $\phi$

SAT가 기하 급수적으로 증가하고 가 크기의 증가로 인해 서브 지수 적 임에도 불구하고이를 가능하게하기 위해 SAT를 PLANAR SAT로 줄일 가능성을 배제하지는 않습니다 . $\phi$

graph-theory sat reductions

— 조로
소스

PLANAR SAT의 정의에는 추가 조건이 있으며 변수는이를 통해 주기로 연결되어야합니다. 설명하신 내용을 PLANAR * SAT라고합니다.

— domotorp

@domotorp 나는 내가 올바르게 인용했다고 생각하고 논문은 그래프가 두 부분이라고 주장한다. 다른 논문에서 다른 이름으로 같은 이름이 사용되었을 수도 있습니다.

— joro

글쎄, 당신은 동적 프로그래밍과 함께 평면 분리기 정리를 적용하고 실행 시간을 얻을 수 있습니다

, 여기서

은 그래프의 꼭짓점 수입니다. 나는 당신이 더 나은 것을 원한다고 가정합니까?

2^{O (\sqrt{n})}

$2^{O( \sqrt{n})}$

n

$n$

— Sariel Har-Peled

@ SarielHar-Peled Yours가 답이 될 것입니다. 더 좋은 것이 필요하지는 않습니다. 다른 수식에 동일한 그래프가있을 수 있습니다. 리터럴을 부정하십시오.

— joro

SAT에서 평면 SAT 로의 표준 감소는 지수 시간 가설 하에서

은 불가능하므로 Sariel의 의견에서 나온 알고리즘은 지수의 상수까지 최적입니다. (이것은 domotorp가 PLANAR * SAT라고 부르는 것에 대한 것이지만, PLANAT SAT에 대해서도 하한값을 보여줄 수 있다고 확신합니다)

2^{o (\sqrt{n})}

$2^{o(\sqrt{n})}$

— daniello

글쎄, 당신은 동적 프로그래밍과 함께 평면 분리기 정리를 적용하고 실행 시간을 얻을 수 있습니다 , 여기서은 그래프의 꼭짓점 수입니다. 아이디어는 구분 기호의 변수 정점에 대해 가능한 모든 할당과 구분 기호의 절에 언급 된 모든 변수를 시도한다는 것입니다 (각 절에 변수 수가 정의되어 있다고 가정). $2^{O(\sqrt{n})}$ $n$

절 노드가 크면 좀 더 영리해야합니다. 왼쪽 또는 오른쪽 하위 문제에 할당할지 추측해야합니다. 그러한 것들에 대한 세부 사항은 지저분하고 즉각적이지 않은 경향이 있으므로 더 자세한 내용은 제공하지 않을 것입니다. Lipton과 Tarjan의 원본 논문은 내 기억이 제대로 작동한다면 비슷한 아이디어를 사용하여 비슷한 문제를 해결했다고 생각합니다.

— 사리 엘 하 필링
소스

보다 일반적으로, SAT 포 뮬레이션의 발생률 그래프가 최대

를 갖는 트리 폭을

경우,

시간 내에 만족도를 확인할 수 있다는 것이 잘 알려져있다 . 정점이

평면 그래프 는 트리 폭

를 갖습니다.

k

$k$

2^{O (k)} p o l y (| ϕ |)

$2^{O(k)} poly(|\phi|)$

n

$n$

평면 분리기 정리로 인해. 보다 일반적으로 고정 그래프

를 제외한 그래프는 부의 폭이

O (\sqrt{n})

$O(\sqrt{n})$

H

$H$

상수가 크기에 따라

O (\sqrt{n})

$O(\sqrt{n})$

H

$H$

— 찬드라 체 쿠리

실제로, 수식에

변수와

절이 있으면 트리 폭은 최대

n

$n$

m

$m$

(더 조잡한

O (\sqrt{n})

$O(\sqrt{n})$

경계).

O (\sqrt{n + m})

$O(\sqrt{n+m})$

상한은 변수가 입사 그래프의 꼭짓점 덮개 인 사실 햇에서나오며, 크기

의 꼭짓점 덮개가있는 평면 그래프는 트리 폭

O (\sqrt{n})

$O(\sqrt{n})$

n

$n$

O (\sqrt{n})

$O(\sqrt{n})$

이것은 NP-Hard Problems : A Survey에 대한 Woeginger의 2003 정확한 알고리즘 의 41 번 연습 입니다. dx.doi.org/10.1007/3-540-36478-1_17

— András Salamon