역 Ackermann과 재미

역 Ackermann 함수는 알고리즘을 분석 할 때 자주 발생합니다. 그것의 좋은 발표는 여기에 있습니다 : http://www.gabrielnivasch.org/fun/inverse-ackermann .

α_{1} (n) = [n / 2]

$\alpha_1(n) = [n/2]$

α_{2} (n) = [\log_{2} n]

$\alpha_2(n) = [\log_2 n]$

α_{3} (n) = \log^{*} n

$\alpha_3(n) = \log^* n$

. . .

$...$

α_{k} (n) = 1 + α_{k} (α_{k - 1} (n))

$\alpha_k(n) = 1 + \alpha_k(\alpha_{k−1}(n))$

α (n) = min {k : α_{k} (n) \leq 3}

$\alpha(n) = \min\{k: \alpha_k(n)\leq 3\}$

내 질문은 : 함수 무엇입니까? 분명히 입니다. 에 어떤 더 엄격한 경계를 줄 수 있습니까? 가요 ?

k (n) = min {k : α_{k} (n) \leq k}

$k(n) = \min \{k: \alpha_k(n) \leq k\}$

1 ≪ k (n) \leq α (n)

$1\ll k(n) \leq \alpha(n)$

k (n)

$k(n)$

k (n) \leq \log α (n)

$k(n) \leq \log\alpha(n)$

ds.algorithms ds.data-structures bounds

— 다나 모시 코 비츠
소스

나는 왜 알고 있지만 왜 인지 설명 할 수 있습니까?

k (n) \leq α (n)

$k(n) \leq \alpha(n)$

k (n) ≪ α (n)

$k(n) \ll \alpha(n)$

— jbapple

논란의 여지가없는 .

k (n) < α (n)

$k(n)<\alpha(n)$

— Dana Moshkovitz 2016 년

@DanaMoshkovitz : 내가 익숙한 Ackermann 계층 구조를 사용하여 정의를 근사했습니다. 및 입니다. Ackermann 함수의 일반적인 정의로 입니다. 따라서 이면 즉, 입니다. (내가 실수하지 않았기를 바랍니다.)

α (n) = min {k : A_{k} (1) \geq n}

$\alpha(n)=\min\{k: A_k(1)\geq n\}$

k (n) = min {k : A_{k} (k) \geq n}

$k(n)=\min\{k:A_k(k)\geq n\}$

A_{k + 1} (1) = A_{k} (A_{k} (1)) \geq A_{k} (k)

$A_{k+1}(1)=A_k(A_k(1))\geq A_k(k)$

A_{k} (k) \geq n

$A_k(k)\geq n$

A_{k + 1} (1) \geq n

$A_{k+1}(1)\geq n$

k (n) \geq α (n) - 1

$k(n)\geq\alpha(n)-1$

— Sylvain

@DanaMoshkovitz : 분명히하기 위해 및 하고 있습니다. 예를 들어 대신에 . 그것은 많은 결과 생각의 필요는 없습니다 : 와 거의 같은 일이다.

A_{1} (n) = 2 n

$A_1(n)=2n$

A_{k + 1} (n) = A_{k}^{n + 1} (1)

$A_{k+1}(n)=A_k^{n+1}(1)$

A_{2} (n) = 2^{n + 1}

$A_2(n)=2^{n+1}$

2^{n}

$2^n$

α (n)

$\alpha(n)$

k (n)

$k(n)$

— Sylvain

@ DanaMoshkovitz : 왜 인지 모르겠습니다 . 무한대의 많은 값에 대해 , 즉 ; 빠르게 때문에 이러한 시퀀스가 길고 길어집니다. 정의를 사용하면 : 따라서 이지만 을 가질 수도 있습니다 .

k (n) < α (n)

$k(n)<\alpha(n)$

n

$n$

α (n) = k (n)

$\alpha(n)=k(n)$

A_{k} (k) < n \leq A_{k + 1} (1) < A_{k + 1} (k + 1)

$A_k(k)<n\leq A_{k+1}(1)<A_{k+1}(k+1)$

A_{k + 1} (1) - A_{k} (k)

$A_{k+1}(1)-A_k(k)$

α (n) < k (n)

$\alpha(n)<k(n)$

α_{2} (8) = 3 > 2

$\alpha_2(8)=3>2$

α (8) = 2

$\alpha(8)=2$

k (8) = 3

$k(8)=3$

— Sylvain

답변:

하자 의 역 할 . 입니다. 라고 주장합니다 . $A_k$ $\alpha_k$ $A_1(x) = 2x, A_2(x) = 2^x, \dots$ $k^{-1}(x) = A_x(x)$

이후 , 이후 , . 결과적으로 입니다. $x = \alpha_x(A_x(x))$ $\forall z, \alpha_y(z) > \alpha_x(z)$ $\alpha_y(A_x(x)) > \alpha_x(A_x(x)) = x$ $k(A_x(x)) = x$

이제 의 값을 고려하십시오 . 의 정의에 의해 , 이것이 . 우리는 알고있다 , 그래서 . 이라고 주장합니다 . 입니다. 이제 이므로 입니다. 이후 , 그래서 . 따라서 $\alpha(k^{-1}(n)) = \alpha(A_n(n))$ $\alpha$ $\min_z \{\alpha_z(A_n(n)) \leq 3\}$ $\alpha_n(A_n(n)) = n$ $\alpha(A_n(n)) > n$ $\alpha(A_n(n)) \leq n+2$ $\alpha_{n+1}(A_n(n)) = 1+\alpha_{n+1}(n)$ $\alpha(n) = \min_z\{\alpha_z(n) \leq 3\}$ $\alpha_{\alpha(n)}(n) \leq 3$ $n+1 > \alpha(n)$ $\alpha_{n+1}(n) \leq 3$ $\alpha_{n+1}(A_n(n)) \leq 4$ $\alpha_{n+2}(A_n(n)) = 1 + \alpha_{n+2}(\alpha_{n+1}(n)) \leq 1 + \alpha_{n+2}(4) \leq 3$ .

따라서 우리는 이므로 와 는 본질적으로 같습니다. $n < \alpha(k^{-1}(n)) \leq n+2$ $k$ $\alpha$

— jbapple
소스

그리고이 모든 함수들이 숫자 4를 쓰는 복잡한 방법들이라고 덧붙여 봅시다.

— Sariel Har-Peled

이것은 올바르지 않습니다. 의견을 참조하십시오.

이 함수에 매우 가까운 함수는 " " 라고 불리며 Pettie의 "Splay Trees, Davenport-Schinzel Sequences 및 Deque Conjecture" 에서 " deque 작업 [splay tree]에서 단지 시간. 여기서 은 에 상수를 매핑하는 역 Ackermann 함수의 최소 적용 횟수입니다 . " $\alpha^*$ $n$ $O(n\alpha^*(n))$ $\alpha^*(n)$ $n$

이 함수는 매우 느리게 성장하며 보다 느리게 성장 합니다. 함수를 고려하십시오. $\log \alpha(n)$ $f:\mathbb{N} \to \mathbb{N}$

f (n) = {\begin{cases} 1 & n = 0 \\ 2^{f (n - 1)} & n > 0 \end{cases}

$f(n) = \cases{1 & n = 0\\2^{f(n-1)} & n > 0}$

이 함수는 만큼 빠르게 성장 하므로 보다 느리게 성장 합니다. 이제 및 을 평가하겠습니다 . $A(4,n)$ $A'(n) = A(n,n)$ $\log \alpha(n)$ $\alpha^*(n)$ $A'(f(n))$

\log α (A^{'} (f (n))) = \log f (n) = f (n - 1)

$\log \alpha(A'(f(n))) = \log f(n) = f(n-1)$

α^{*} (A^{'} (f (n))) = 1 + α^{*} (f (n)) < 1 + α^{*} (A^{'} (n)) < 2 + α^{*} (n)

$\alpha^*(A'(f(n))) = 1 + \alpha^*(f(n)) < 1 + \alpha^*(A'(n)) < 2 + \alpha^*(n)$

~~이후 , 보다 훨씬 빠르기 때문에 성장 . $f(n-1) \in \omega(2+\alpha^*(n))$ $\log \alpha(n)$ $\alpha^*(n)$~~

— jbapple
소스

alpha ^ *와 k (n)의 관계는 무엇입니까? (k (n)의 정의에서 나는 그 질문에 포함 된 링크에 정의 된 alpha_k (n) 표기법을 사용한다)

— Dana Moshkovitz

죄송합니다. 을 로 읽습니다 !

α_{k}

$\alpha_k$

α^{k}

$\alpha^k$

— jbapple