Impredicative Type 이론의 파급 효과

내가 아는 대부분의 유형 이론은 내가 예측하는 것입니다.

Void : Prop
Void = (x : Prop) -> x

이 pi 유형이 같은 우주에 속하기 때문에 대부분의 정리 프로 버에서 잘 입력 Prop되지 않습니다 Prop : Prop. 이것은 그것들을 예측하고 위와 같은 즉석적인 정의를 허용하지 않습니다. 그러나 System F 나 CoC와 같은 엄청나게 많은 "칠판 언어"는 사실상 비현실적입니다. 실제로,이 비현실 성은 언어에 기본적으로 포함되지 않은 대부분의 구성을 정의하는 데 중요합니다.

내 질문은 논리적 구조를 정의하는 데 힘이 주어지면 왜 불확실성을 포기하고 싶습니까? 나는 두 사람이 즉각 성이 "계산"이나 "유도"를 망친다는 말을 들었지만 구체적인 설명을 찾는 데 어려움을 겪고 있습니다.

lo.logic type-theory

— 다니엘 그라 처
소스

타입 이론가들은 예측 적입니까, 아니면 이론입니까?

— Andrej Bauer

나는 Coq가 위의 정의를 받아들이 기 때문에 "가장 정리 이론가"가 아니라고 가정합니다.

— Andrej Bauer

@AndrejBauer 왜 둘 다? :) 나는 coq가 예측 우주뿐만 아니라 즉석 우주를 가지고 있다고 생각한다. 내 질문이 있다고 생각합니다. "왜 불쾌하지 않은가?" coq의 맥락에서

— Daniel Gratzer

왜 유형이 비침 입적이지 않습니까? > 점검 유형. 타입 : 타입. Well darn :)

— cody

개발자를 귀찮게 할 필요가 없습니다! Impredicative Set은 매우 불쾌하며, forall P : Type, {P} + {~P}특히이 + Impedicative 세트 nat는 증거와 관련 이 없음을 나타내며 (그리고 관련성이없는 것이 아니라) 다소 자연스러운 선택 원칙과 소위 "정보가 배제 된 중간" 과 충돌합니다 . 예를 들어 coq.inria.fr/library/Coq.Logic.ClassicalUniqueChoice.html 및 coq.inria.fr/library/Coq.Logic.Berardi.html

— cody

답변:

내 의견을 답변으로 정교하게 설명하겠습니다. Russel의 동기 중 하나는 XIX 세기 불일치와 역설의 근원으로 확인 된 "원형"정의를 금지하는 것이기 때문에 예측 적 유형 이론의 기원은 유형 이론 자체만큼이나 오래되었습니다. Thierry Coquand는 여기에 계몽 된 개요를 제공합니다 . 이 이론에서 "레벨"또는 유형에 대한 술어는 "다음"레벨의 유형에 속하며, 여기서 무한한 (가수) 레벨이 있습니다.

Russel의 예측 계층은 알려진 역설을 기각하기에 충분했지만 기본 시스템으로 사용하기는 매우 어려운 것으로 판명되었습니다. 특히, 실수 시스템처럼 단순한 것을 정의하는 것은 매우 어려웠으므로 Russel 은 모든 수준이 1로 "감소" 되었다고 가정 한 공리의 공리라는 공리 를 가정했습니다. 말할 것도없이, 이것은 만족스러운 개발이 아니었다.

그러나, "유해한"즉석식 진술과는 달리 (이에 제한되지 않는 이해와 같은),이 공리는 불일치를 소개하지 않는 것으로 보인다. 기초 이론 ( 간단한 유형 이론 , 체르 멜로의 집합 이론 ) 의 이후의 공식화는 그것들을 도매로 받아 들였고, 술어 (가족 전체 집합에 대한 정량화), 술어를 같은 수준으로 만들었다.

1971 년경 Martin-Löf는이 원칙과 추가 공리가 모두 적용되는 종속 형 이론을 도입했다 Type : Type. 이 시스템은 미묘한 이유로 일관성이없는 것으로 판명되었습니다. 순진한 Russel 역설은 (직접적인 방식으로) 재생할 수 없지만, 영리한 인코딩은 모순을 찾을 수 있습니다. 이것은 러셀과 비슷한 믿음의 위기를 불러 일으켰으며 우리가 알고 사랑하는 우주에 대한 예측 적 유형 이론을 초래했습니다.

"무고한"불확실성 을 라 제르 멜로 이론으로 설정하여 미적분학과 같은 유형 이론을 만들어 낼 수있는 방법이 있지만, 손상은 이루어졌으며, 유형 이론의 "스웨덴 학교"는 불완전 성을 거부하는 경향이 있습니다.

몇 가지 사항 :

이것은 직관적 인 수학과 어떤 관련이 있습니까? 대답은 그리 많지 않습니다. XX 세기 초, 수학자들은 순환 적 / 임원 적 원리의 사용을 비 건설적 추론과 혼동하는 경향이 있었다 (직설적 즉석 적 추론은 배제 된 중간의 사용과 마찬가지로 기존의 수학적 우주 를 가정하는 것처럼 보인다 ). 그러나 ( IZF 와 같은 ) 직관 론적 인 전제 이론이 있습니다. 직관주의에 관심이있는 사람들은 여전히 어떤 이유로 인해 편견 론에 관심이있는 경향이 있습니다 (물론 저는 유죄입니다).
예측 수학에서 무엇을 할 수 있습니까? Martin이 그의 대답에서 지적한 것처럼, Hermann Weyl (Andre Weil과 혼동하지 말 것)은 예측 시스템이 Peano 산술 과 2 차 사이의 표현력이라는 출발점으로 삼아 예측 시스템의 표현력을 탐구하는 프로그램을 시작했습니다. 산술 (Arithmetic )은 대부분의 표준에 의해 거의 승인되지 않은 것으로 동의된다 (그리고 유형 이론 측면에서 시스템 F와 비교할 수있다). 이 프로그램은 알려진 수학 이론 의 강도 를 증명하는 데 필요한 공리 (일반적인 접근법의 반대) 로 분류하려고 시도하면서 나중에 "역 수학"이라고 불렸다 . 그만큼wikipedia 페이지 는 좋은 개요를 제공합니다. 이 프로그램은 대부분의 XIXth 세기 수학을 매우 약한 시스템에 쉽게 수용 할 수 있다는 점에서 매우 성공적이었습니다. 이 프로그램이 더 높은 카테고리 이론과 같은 최신 결과로 확장 될 수 있는지 여부는 여전히 의문의 여지가 있습니다.

— 코디
소스

귀하의 멋진 게시물에는 " 대부분의 표준에 의해 불쾌감을주는 데 동의 하는 것 "이라는 매우 흥미로운 부차적 인 언급이 포함되어 있습니다 . 그것은 미묘한 것을 가리킨다. 즉, 예측과 비 확대의 경계가 정확히 어디에서 그려 져야하는지 명확하지 않다.

— Martin Berger

{P A}_{2}

$\mathrm{PA}_2$

한 가지 차원은 형식 유추입니다. 예를 들어 시스템 F의 형식 유추는 결정 가능하지 않지만 일부 예측 조각은 결정 가능한 (부분) 유추가 있습니다.

또 다른 차원은 논리로서의 일관성입니다. 저명한 사상가들은 역사적으로 수학의 기초적인 기초를 갖는 것에 대해 약간 불안 함을 느꼈습니다. 결국, 그것은 일종의 순환 추론입니다. 나는 H. Weyl이 첫 번째 또는 첫 번째 사람 중 하나라고 생각합니다. 가능한 한 많은 수학을 예측적인 방식으로 재구성하려고 노력했을뿐입니다. 우리는 '수용성'표현 적 정의로부터 모순이 도출되지 않았다는 의미에서, 고전적 수학에서는 불확실성의 순환 성이 문제가되지 않는다는 것을 배웠다. 시간이지나면서 우리는 그것들을 신뢰하는 법을 배웠습니다. 이것 (역설의 부재)은 경험적입니다.관측! 그러나, 이상한 서수 구조를 가진 증명 이론의 많은 발전은 궁극적 목표로서 '아래에서'모든 수학을 쌓으려는 소망을 가지고있다. 즉, 즉석적인 정의가 없다. 이 프로그램은 완료되지 않았습니다. 근래에, 수학의 예측 적 기초에 대한 관심은 역설에 대한 걱정에서 여러 가지 이유로 흥미로운 증명의 계산 내용으로 이동했다. Impredicative 정의는 계산 내용을 추출하기 어렵게 만듭니다. 일관성에 대한 걱정의 또 다른 각도는 Curry-Howard 전통에서 비롯됩니다. Martin-Löf의 독창적 인 유형 이론은 비현실적이었습니다. 그 충격에 뒤이어 그는 예측 적 시스템 만 제안했지만 유도 성 데이터 유형과 결합하여 많은 비 신뢰성의 힘을 되찾았습니다.

— 마틴 버거
소스

공정하게 말해서 Russel은 가장 먼저 시도한 것 중 하나였습니다 . 그러나 그는 (환원의 공리로) 패배를 인정했다.

— 코디

@cody 나는 이러한 시도의 역사에 너무 익숙하지 않습니다. Weyl (및 S. Feferman)은 얼마나 성공적인 시도를 했습니까? MLTT / HOTT는 확실히 작동합니다.

— Martin Berger

기본적으로 Weyl은 매우 성공적이었습니다. 즉, 대부분의 분석 모음은 2 차 (임시) 수학에 어필하지 않고 공식화 할 수 있습니다. 작업의 본문은 역 수학의 일부가되어 필요한 "임시 성"의 양을 정확하게 정량화합니다.

— 코디

증거 이론이 "이상한 서수 구조로"임박한 정의없이 모든 수학을 쌓을 수 있다는 것은 사실이 아닙니다. 문제는 증거 이론이 진공 상태가 아니라 공식적인 시스템에서 이루어 지는데, 그 자체로는 근거 이론을 잘 증명할 수 없다는 증거 이론적 서 수가있을 것이다. 따라서 이러한 추구는 절대 '바닥'에 도달 할 수 없습니다. 일부 논리 학자들은 Γ [0]이 첫 번째 비 침식 서수라고 생각하며, 그렇다면 당신은 ATR0을 고수하고 예측할 수 없습니다. 그렇지 않다면 Γ [0]이 예측 적이라는 것을 정당화해야합니다. 어떻게 하시겠습니까?

— user21820

@ user21820 나는 모든 수학이 암시적인 정의없이 구축 될 수 있다고 말하지 않았는데, 그것은 명백한 질문이다.

— Martin Berger

유형 이론은 주로 사회-기술적 이유 때문에 우선 순위를 정하는 경향이있다.

첫째, 비공식적 인 비현실적 개념은 (적어도) 두 가지 다른 방식으로 공식화 될 수있다. 먼저, 유형 정량화가 모든 유형 (양자화 기가 속하는 유형 포함)에 걸쳐있을 수 있기 때문에 시스템 F와 같은 유형 이론은 비현실적이라고 말합니다. 따라서 일반적인 아이덴티티 및 컴포지션 연산자를 정의 할 수 있습니다.

\begin{array}{lclll} i d & : & \forall a . a \to a & = & Λ a . λ x . x \\ c o m p o s e & : & \forall a, b, c . (a \to b) \to (b \to c) \to (a \to c) & = & Λ a, b, c . λ f, g . λ x . g (f x) \end{array}

$\begin{array}{lclll} \mathit{id} & : & \forall a.\; a \to a & = & \Lambda a.\;\lambda x.\;x\\ \mathit{compose} & : & \forall a, b, c.\; (a \to b) \to (b \to c) \to (a \to c) & = & \Lambda a,b,c.\lambda f, g. \lambda x. g(f\;x) \end{array}$

그러나 표준 (예 : ZFC) 설정 이론에서는 이러한 작업 을 객체로 정의 할 수 없습니다 . 없다 같은 것은 함수가 도메인 설정 및 공역 세트 사이의 관계이기 때문에 세트 이론 "신원 기능"등은 단일 기능 신원 기능을 할 수 있다면, 당신은 세트를 구성하는 데 사용할 수 있습니다 모든 세트의. (이것은 기본적으로 John Reynolds가 System-F 스타일 다형성에 집합 이론적 모델이 없음을 보여준 방법입니다.)

$X$ $S$ $P$ $X$ $P$ $X$

따라서 F- 스타일의 불확실성은 유형의 유형에 대한 순진한 견해와 호환되지 않습니다. 유형 이론을 교정 보조자로 사용하는 경우 표준 수학을 도구에 쉽게 이식 할 수 있으므로 이러한 시스템을 구현하는 대부분의 사람들은 단순히 불완전 성을 제거 할 수 있습니다. 이런 식으로 모든 것이 집합 이론 및 유형 이론 판독을 모두 가지고 있으며, 가장 편리한 방식으로 유형을 해석 할 수 있습니다.

— 닐 크리슈나 스와미
소스

N

$\mathbb{N}$

N

$\mathbb{N}$