독립 세트에 대한 특성 테스트

그래프가 있다고 가정 해 봅시다. $G$ 그리고 매개 변수 $k,\epsilon$. 에 대한 값의 범위가 있습니까$k$ (또는 모두를 위해 할 수 있습니까? $k$) 여부를 테스트 할 수있는 $G$ 이다 $\epsilon$-적어도 독립적 인 크기의 세트를 갖는 것 $k$ 제 시간에 $O(n + \text{poly}(1/\epsilon))$ ?

우리가 일반적인 개념을 사용한다면 $\epsilon$멀리까지 (즉, 최대 $\epsilon n^2$ 그런 세트를 얻으려면 가장자리를 변경해야합니다), 문제는 사소합니다. $k = O(n\sqrt{\epsilon})$. 그래서

• 만약에 $k$더 큰 경우 일부 샘플링 아이디어는 문제를 해결하는 데 효과적입니다. 그게 사실입니까?
• 다른 개념이 있습니까? $\epsilon$멀리까지 $\epsilon |E|$ 가장자리 대신) 사소한 결과가 있습니까?

나는 기본적 으로이 시점에서 참조를 찾고 있습니다.

이 문제는 실제로 연구되었습니다. Goldreich, Goldwasser 및 Ron은 그래프 속성 테스트를 시작한 정기 논문 에서이를 연구 한 후 Feige, Langberg 및 Schechtman도 FOCS '02 논문 "작은 벡터 색도 및 큰 색도를 가진 그래프" 에 결과를 표시했습니다. .

구체적으로, [FLS '02]는 독립적 인 크기로 그래프를 구별 할 수 있음을 보여줍니다. $\rho n$ 그래프에서 $\epsilon$-그렇지 않다 (즉, 적어도 의미) $\epsilon n^2$ 에 의해 유도 된 임의의 하위 그래프를 선택하여 이러한 독립 세트를 만들려면 가장자리를 제거해야합니다. $s = \tilde{O}(\rho^4/\epsilon^3)$ 그래프의 임의의 정점 및 임의의 하위 그래프의 크기가 독립적인지 확인 $\rho s$또는 아닙니다. ([GGR '98]은 약한 경계를 보였다$s$ 의 $\tilde{O}(\rho/\epsilon^4)$.) [FLS '02]도 하한을 나타냅니다 $s$ 의 $\Omega(\rho^3/\epsilon^2)$.

또 다른 자연 정의 $\epsilon$-독립적 인 세트에 가깝습니다 $\epsilon k^2$가장자리. 불행히도이 정의에 따라 속성 테스트는 다항식 시간 해결이 불가능한 것으로 보입니다. 그 이유는 아무도 심은 도둑을 찾는 방법을 알지 못하기 때문입니다.$o(\sqrt{n})$ 임의의 그래프의 정점 $n$ 정점보다 빠름 $n^{O(\log n)}$시각. 다항식 시간에서 심은 파편을 찾는 데 평균보다 조금 더 조밀 한 하위 그래프를 사용할 수 있음을 알 수 있습니다. 이것은이 문제의 변형에 대해 다항식 시간 알고리즘이 있다는 증거입니다.$k$ 중에서 $\log n$ 과 $\sqrt{n}$.

참조 : Feige 및 Krauthgamer. 1999 년, 세미 랜덤 그래프에서 큰 숨겨진 도둑을 찾아서 인증합니다.