교회 숫자에 대한 유도 원리를 선언 할 수없는 이유

우리가 의존적으로 람다 미적분학에서 자연수를 교회 숫자로 정의했다고 상상해보십시오. 다음과 같은 방식으로 정의 될 수 있습니다.

SimpleNat = (R : Set) → R → (R → R) → R

zero : SimpleNat
zero = λ R z _ → z

suc : SimpleNat → SimpleNat
suc sn = λ R z s → s (sn R z s)

SimpleNatRec : (R : Set) → R → (R → R) → SimpleNat → R
SimpleNatRec R z s sn = sn R z s

그러나 다음 유형의 유도 원리로는 교회 숫자를 정의 할 수없는 것 같습니다.

NatInd : (C : Nat -> Set) -> (C zero) -> ((n : Nat) -> C n -> C (suc n)) -> (n : Nat) -> (C n)

왜 그래야만하지? 이것을 어떻게 증명할 수 있습니까? 문제는 재귀가되는 Nat에 대한 유형을 정의하는 것 같습니다. 이것을 허용하기 위해 람다 미적분을 수정할 수 있습니까?

type-theory lambda-calculus dependent-type

— 콘스탄틴 솔로 마 토프
소스

당신이 묻는 질문은 흥미롭고 알려져 있습니다. 당신은 자연수의 이른바 즉석 인코딩을 사용하고 있습니다. 약간의 배경을 설명하겠습니다.

타입 생성자 감안할 때 , 우리는 "최소한의"유형에 관심이있을 수 만족 . 범주 이론에서 는 펑터이고 는 초기 대수입니다. 예를 들어, 경우 는 자연수에 해당합니다. 만약 $T : \mathsf{Type} \to \mathsf{Type}$ $A$ $A \cong T(A)$ $T$ $A$ $T$ $T(X) = 1 + X$ $A$ 다음 는 유한 이진 트리의 유형입니다. $T(X) = 1 + X \times X$ $A$

오랜 역사를 가진 아이디어는 초기 대수는 (종속적 인 제품에 Agda 표기법을 사용하고 있지만 더 전통적인 수학적 표기법을 사용하고 있습니다.) 왜 이것이되어야합니까? 음, 본질적으로 초기 대수에 대한 재귀 원리를 인코딩합니다 . 구조 형태가 대수 $T$

ㅏ : = \prod_{엑스 : 티 와이 피 이자형} (티 (엑스) \to 엑스) \to 엑스 .

$A \mathrel{{:}{=}} \prod_{X : \mathsf{Type}} (T(X) \to X) \to X.$

A

$A$

T

$T$

T

$T$

Y

$Y$

, 우리는 대수 동형을 얻습니다

f : T (Y) \to Y

$f : T(Y) \to Y$

ϕ : A \to Y

$\phi : A \to Y$

우리는

가약한초기임을 알 수있습니다. 처음에는

도 독특하다는 것을 알아야합니다. 추가 가정 없이는 사실이 아니지만 세부 사항은 기술적이고 불쾌하며 일부 배경 자료를 읽어야합니다. 예를 들어, 만족스러운 파라 메트릭 정리를보여줄 수 있다면 우리는이기는하지만

의 정의를 마사지하고

축과 함수 확장 성을가정하는다른 방법들도 있습니다.

ϕ (ㅏ) = ㅏ 와이 에프 .

$\phi(a) = a \, Y \, f.$

A

$A$

ϕ

$\phi$

A

$A$

K

$K$

위의 내용을 : $T(X) = 1 + X$ 우리는 교회 숫자를 얻었다! 또한 교회 숫자는숫자의 재귀 원리이기 때문에 우리는 무료로 재귀 원리를 얻을 수 있다는 것을 이해하지만 매개 변수 나 유사한 장치가 없으면 유도를 얻지 못합니다.

엔 ㅏ 티 = \prod_{엑스 : 티 와이 피 이자형} ((1 + 엑스) \to 엑스) \to 엑스 = \prod_{엑스 : 티 와이 피 이자형} (엑스 \times (엑스 \to 엑스)) \to 엑스 = \prod_{엑스 : 티 와이 피 이자형} 엑스 \to (엑스 \to 엑스) \to 엑스 .

$\mathsf{Nat} = \prod_{X : \mathsf{Type}} ((1 + X) \to X) \to X = \prod_{X : \mathsf{Type}} (X \times (X \to X)) \to X = \prod_{X : \mathsf{Type}} X \to (X \to X) \to X.$

당신의 질문에 대한 정답은 이것입니다. 유형 에 숫자에 해당하지 않는 이국적인 요소를 SimpleNat포함 하는 유형 이론의 모델이 있으며, 이러한 요소는 유도 원리를 위반합니다. 이 모델 의 유형 은 너무 커서 초기 대수 만 약 합니다.SimpleNat

— 안드레이 바우어
소스

나는 대답이 큰 점에 동의하지만, 몇 가지 참조는 여기에 유용 할 수 있습니다 : 유도의 비 derivability에 Geuvers '종이 와 닐 K의와 parametricity에서 (일부) 유도를 얻기에 데릭 드레 이어의 종이 . 나는 관계를 완전히 탐구하는 논문을 모른다.

— 코디

나는이 분야의 참고 문헌에 너무 강력하지 않습니다. @ cody 감사합니다!

— Andrej Bauer