정사각형에서 인접 행렬 복구의 복잡성

다음 문제에 관심이 있습니다. 행렬이 주어지면 인접 행렬의 제곱이 행렬 인 개의 꼭짓점 에 무 방향 그래프 가 있습니까? $n\times n$ $n$

이 문제의 계산 복잡성이 알려져 있습니까?

비고 :

물론이 또한 매트릭스 주어진 검색 문제로 표현한 수 위한 무향 그래프의 인접 행렬을 상기 문제 (무향 그래프) 임의의 인접 행렬을 발견하는 되도록 . $A^2$ $A$ $B$ $B^2 = A^2$
Motwani와 수단 ( 그래프의 근본 계산 은 어렵다 , 1994 년)과 Kutz ( 부울 행렬의 근본 계산의 복잡도 , 2004)는 NP-hard와 유사하지만 뚜렷한 문제를 보여줍니다. 곱셈.

cc.complexity-theory graph-theory

— 벤 피쉬
소스

문제는 주어진 쌍별 내부 곱 으로 벡터 의 존재를 결정하는 것과 같습니다 .

n

$n$

— Mohammad Al-Turkistany

아주 최근에 인접 행렬이 아닌 확률 행렬에 대한이 질문을 다루는 논문이있었습니다 ( arxiv.org/abs/1411.7380 ). 이러한 맥락에서 정사각형의 성질은 분열성 (divisibility )으로 알려져 있으며, 내가 언급 한 논문에서 NP- 완전한 것으로 보인다.

— Māris Ozols

@ MohammadAl-Turkistany는 어떻게 동등합니까? OP의 문제에 대한 솔루션은 일반 벡터 (정수 값, 특정 인덱스가 0이어야 함)보다 추가 구조가 필요합니다.

— Jeremy Kun

이것은 학위 순서가 그래픽인지 확인하는 것과 관련이 있습니다. 공지의 것을 대각이도 열과 나타내는 정점 공통 인 이웃들의 숫자 . 따라서 그래픽 정도 시퀀스 문제에 대한 제한 사항입니다. 그래도 어떻게 해결 해야할지 모르겠다.

A^{2}

$A^2$

(A^{2})_{i j}

$(A^2)_{ij}$

i, j

$i,j$

— SamiD

답변:

이분 그래프의 사각형 (참조 다항식 시간에 인식 할 수있는 것으로 알려져있다 이 ). 일반적으로 기본 그래프의 거스를 기준으로이 문제의 복잡성을 특성화 합니다.

최근에 최적화 있었다 변형 테스트 할 때 그래프가 최대 (각각 적어도)와 제곱근이 있는지 여부를 문제에 대한 FPT 알고리즘을 제공 공부 정수 주어진 일부 가장자리 . $s$ $s$

— 니힐
소스

응답에 감사하지만 언급 한 결과는이 문제와 관련이 없습니다 .Motwani와 수단의 논문에서와 같이 주어진 행렬은 인접 행렬이며 목표는 인접 행렬이 제곱 된 다른 그래프를 찾는 것입니다 부울 행렬 곱셈 은 주어진 행렬입니다. 이 문제에서는 부울이 아니라 정수 행렬 곱셈입니다. 즉,이 문제는 용어를 사용할 때 그래프의 제곱근에 관한 것이 아닙니다.

— 벤 피쉬

@BenFish 죄송합니다. 귀하의 질문을 오해했습니다. 정수 행렬의 경우 행렬의 제곱근을 근사하는 것보다 더 좋은 방법은 보이지 않지만 가중치 그래프의 제곱근으로 계산하는 데 관심이 있다고 가정합니다 (그 방법을 모릅니다)

— Nikhil

@Nikhil 행렬의 제곱근은 고유하지 않으므로 이렇게해도 문제가 해결되지 않습니다.

— Lev Reyzin

@LevReyzin 맞습니다. 일반적으로 고유성은 매트릭스의 스펙트럼에서 특징 지을 수 있다고 생각합니다 (필수적이고 충분한 조건을 제공하지 않을 수도 있음). 확률 행렬에 대해 알려진 흥미로운 결과가 있습니다 -eprints.ma.man.ac.uk/1241/01/covered/MIMS_ep2009_21.pdf

— Nikhil

기본 그래프가 희소, 랜덤 그래프이면 다항식 시간에서 "그래프 제곱근"문제를 해결할 수 있습니다. 가중 그래프의 경우에도 마찬가지입니다. 이 아이디어를 사용하는 논문의 예로는 소셜 네트워크에서 겹치는 커뮤니티 찾기 및 일부 깊은 표현 학습을위한 입증 된 경계 찾기가 있습니다. 그래프 큐브 루트, 네 번째 루트 등에 대한 유사한 알고리즘에 대한 아이디어가 있습니까?

— 프라 틱
소스