가정 할 때 2-SAT 검색 버전의 복잡성

경우 , 다음 LOGSPACE 알고리즘 떨어져 있음을 해결해 결정 버전 2의 SAT.$\mathsf{L = NL}$

• 가요 하기 LOGSPACE 알고리즘이 있음을 암시하는 것으로 알려져 만족 할당을 얻을 때 입력으로 만족할 -2- SAT 인스턴스 주어진?$\mathsf{L = NL}$

• 그렇지 않다면, 서브 라인 공간을 사용하는 알고리즘은 어떻습니까?

만족할 수있는 2-CNF를 감안할 때 , 특정 만족 할당 계산할 수 있습니다 전자 (즉, NL-술어가있는 NL-기능에 의해 P ( φ , I ) 여부를 알려줍니다 전자 ( X i가 ) 사실이다). 이를 수행하는 한 가지 방법이 아래에 설명되어 있습니다. I 자유롭게 NL 아래에 폐쇄되어 있으므로 사용 C 0 따라서 NL-기능 조성물 따라 닫히고, -reductions 단계; 이는 NL = coNL의 결과입니다.$\phi$$e$$P(\phi,i)$$e(x_i)$$\mathrm{AC}^0$

하자 만족할 수 -2- 일 CNF. 리터럴 들어 ,하자 A가 → 로부터 도달 리터럴 수있을 의 의미 그래프에 관한 경로 φ 및 ← 되는 리터럴의 수 A는 도달 가능하다. 둘 다 NL에서 계산할 수 있습니다.$\phi(x_1,\dots,x_n)$$a$$a^\to$$a$$\phi$$\let\ot\leftarrow a^\ot$$a$

그 관찰 및 ¯ ← = → 인해 의미 그래프의 경사 대칭이다. 할당 정의 전자 도록을$\let\ob\overline \ob a^\to=a^\ot$$\ob a^\ot=a^\to$$e$

• 만약 ← > → 다음 예는 ( ) = 1 ;$a^\ot>a^\to$$e(a)=1$

• 만약 ← < → 다음 예는 ( ) = 0 ;$a^\ot<a^\to$$e(a)=0$

• 만약 ← = → ,하자 난 최소화되도록 X 난을 하거나 ¯ X 난 의 강하게 연결된 구성 요소에 나타나는 (대로, 모두 수 없다 φ가 만족할 수있다). 넣어 전자 ( ) = 1 경우 X 내가 나타날 E ( a가 ) = 0 , 그렇지.$a^\ot=a^\to$$i$$x_i$$\ob x_i$$a$$\phi$$e(a)=1$$x_i$$e(a)=0$

그래프의 스큐 대칭은 임을 암시 하므로 잘 정의 된 할당입니다. 또한 함축적 그래프의 모든 모서리 a → b 에 대해 :$e(\ob a)=\ob{e(a)}$$a\to b$

• 경우 로부터 도달 할 수없는 (B) 다음 ← < B ← 및 → > B → . 따라서, 전자 ( ) = 1 을 의미 E ( B ) = 1 .$a$$b$$a^\ot<b^\ot$$a^\to>b^\to$$e(a)=1$$e(b)=1$

• 그렇지 않으면, 와 b 는 동일하게 연결된 구성 요소에 있으며 a ← = b ← , a → = b → 입니다. 따라서 e ( a ) = e ( b ) 입니다.$a$$b$$a^\ot=b^\ot$$a^\to=b^\to$$e(a)=e(b)$

그것은 그 다음 .$e(\phi)=1$