구성 론자들이 콜 / CC에 대해 너무 신경 쓰지 않는 이유

그래서 얼마 전에 저는 누군가 call / cc가 Peirce의 법칙을 구현함으로써 고전적인 증거를위한 증거 객체를 허용 할 수 있다고 말했습니다. 나는 최근에 그 주제에 대해 약간의 생각을했다. 나는 그것에 관한 결함을 찾을 수 없다. 그러나 나는 다른 사람이 그것에 대해 이야기하는 것을 실제로 볼 수 없습니다. 토론이없는 것 같습니다. 무엇을 제공합니까?

어떤 맥락에서 와 같은 구성을 가지고 있다면 두 가지 중 하나가 사실 인 것 같습니다. 현재 컨텍스트에서 인스턴스 액세스 할 수 있는 경우 제어 흐름이 여기에 도달하지 않으며 의미 하는 것으로 가정합니다 가 반환 할 수 있는 유일한 방법 은 의 인스턴스를 구성하고 두 개의 인수 ( 의 인스턴스 입니다. 이 경우 이미 의 인스턴스를 구성하는 몇 가지 방법이있었습니다. $f : \neg(\neg P)$ $\bot$ $f : \neg(\neg P)$ $f : (P \to \bot) \to \bot$ $f$ $\bot$ $P$ $P \to \bot)$ $P$ ; call / cc가이 구성을 꺼내는 것이 합리적입니다. 여기에서의 나의 추론은 나에게 다소 의심스러워 보이지만 내 혼란은 여전히 선다. call / cc가 단지 얇은 공기 에서 의 인스턴스를 만드는 것이 아니라면 (어떻게 보지는 않습니까) 그렇다면 무엇이 문제입니까? $P$

call / cc를 포함하지 않는 잘 입력 된 용어가 정상적인 형태를 갖지 않습니까? 그러한 표현의 다른 속성이 의심되는 원인이 있습니까? 구성 주의자가 콜 / CC를 좋아하지 않아야하는 주목할만한 이유가 있습니까?

— 제이크
소스

CPS , cc / 전화

— Kaveh

또한 새로운 건설적인 논리 : 고전적인 논리 .

— Kaveh

답변:

건설 수학은 공식적인 시스템 일뿐만 아니라 수학에 대한 이해입니다. 또는 다르게 말하면, 모든 종류의 의미가 건설적인 수학자에 의해 받아 들여지는 것은 아닙니다.

건설적인 수학자에게는 call/cc속임수처럼 보입니다. 다음을 사용하여 를 목격하는 방법을 고려하십시오 . $p \lor \lnot p$ call/cc

우리 는 증명되는 함수 를 제공합니다 . 실제로 는 트릭의 가방입니다. $f$ $\lnot p$ $f$
누구도 적용하면 증명에 , 다음 해방합니다 롤 백 시간, 그리고 증거로 손에 대해 자사의 마음을 변경 :이 시간이의 증거라고 주장하는 . $f$ $p$ $f$ call/cc $p$ $p \lor \lnot p$ $p$

분리에 대한 건설적인 이해는 알고리즘 결정 가능성 이지만, 위의 결정은 거의 이루어지지 않습니다. 테스트로 건설적인 수학자는 call/cc모든 튜링 기계가 멈추거나 갈라지는 것을 어떻게 증명할 수 있는지 묻습니다 . 그리고이 사실을 목격하는 프로그램은 무엇입니까? (Halting Oracle이어야합니다.)

— 안드레이 바우어
소스

아 !! 나는 그것이 내가 찾던 친절한 것이라고 생각합니다.

— Jake

아시다시피, 이러한 의미에서 고전적 논리에 대한 건설적인 해석이 가능합니다. 고전적인 논리는 사실 equiconsistent 꽤 많은 시간 동안 알려져있다 직관 논리 (예를 들어, Heyting 산술) (이미 1933 년, 예와 괴델 이중 부정 번역을 사용하여).

보다 복잡한 주장으로 Peano Arithmetic은 문에서 HA보다 보수적 이라는 것을 알 수 있습니다 . 결과의 본질은 고전적 증거이다 포함 (a 의해 그 구조가없는 문장과 같은 연산 내용이 CPS의 변환). $\Pi^0_2$ $\Pi^0_2$ $\mathrm{call/cc}$

그러나 이상의 진술에 대해서는 사실 이 아니다 : PA에서 증명할 수있는 진술 은 증인을 뽑아 낼 수있는 정상적인 형태가 아닐 수도있다! 컴퓨터 과학자들은이 수준에서 증명으로 계산하는 것에 신경 쓰지 않을 수도 있지만 철학적으로 고려 하기에는 다소 불편합니다 . 우리는 무언가의 존재를 입증 했습니까? $\Pi^0_2$ $\Sigma^0_3$

그 이유를 첨가하여 비 건설적인 논리 "고정"이 요약되어 생각 만족스럽지 수 있습니다. $\mathrm{call/cc}$

즉 , "클래식 커리 하워드"프레임 워크 (예 : Krivine Machine, Parigot 미적분학 ( ) 등) 내에서 계산의 계산 측면을 탐구 하는 많은 작업이 있습니다. 개요는 여기 를 참조 하십시오 . $\lambda\overline{\mu}\tilde\mu$

마지막으로, 조건 미적분학 및 산술 사례에서 상황이 다소 잘 이해되지만 더 강력한 이론은 훨씬 덜 탐구된다는 점에 유의하는 것이 유용 할 수 있습니다. 예를 들어, IIRC, ZFC는 문장의 경우 IZF보다 보수적이며 (ZFC는 산술 문장의 경우 ZF보다 보수적이며 ZF는 IZF보다 보수적입니다), 이는 선택된 공리에 대한 계산상의 의미가 있음을 시사합니다. 그러나 이것은 매우 활발한 연구 분야이다 ( Krivine , Berardi et al. ) $\Pi^0_2$

편집 : mathoverflow에 관한 매우 관련성이 높은 질문이 여기에 나타납니다 : /mathpro/29577/solved-sequent-calculus-as-programming-language

— 코디
소스

이 일관성이 건설적으로 사실입니까?

— Geoffrey Irving

@GeoffreyIrving : 예, 그것은 단지 직관적 인 추론만을 사용하여 고전 적인 일관성 (고전적인 추론 자체 가 아닌 경우)에 대한 믿음을 완전히 "부트 스트랩"할 수 있습니다 . 이는 대한 괴델의 원래 동기였다

-translation.

\neg \neg

$\neg\neg$

— cody

"증인을 뽑아 낼 수있는 정상적인 형태가 아닐 수도 있습니다"라는 의미입니다. 그것은 의미 적으로이 용어들이 의미론에 대한 바닥을 가지고 있다는 것을 의미합니까, 아니면 낯선 것을 의미합니까?

— Jake

A \lor \neg A

$A\vee \neg A$ inr (fun x -> callcc(...))

A

$A$

알았다. 감사! 나는 아직도 당신의 대답의 일부를 소화하고 있습니다. 나는 산술 계층에 익숙하지 않으므로 처리하는 데 조금 더 걸렸습니다.

— Jake

Andrej와 Cody의 답변에 동의합니다. 그러나, 왜 구성 론자들이 제어 연산자 (call / cc)에 관심을 가져야 하는지 언급 할 가치가 있다고 생각합니다 .

$\neg\neg P\vdash P$

$\Pi^0_2$

$P$ $\Sigma^0_1$

— 단코 일릭
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