불연속적인 문제는 NP가 어렵고 지속적인 문제는 그렇지 않은 규칙입니까?

컴퓨터 과학 교육에서 나는 대부분의 불연속 문제가 NP 완료 (적어도) 인 반면 점차적 인 문제를 최적화하는 것은 대개 항상 그래디언트 기법을 통해 쉽게 달성 할 수 있음을 알게되었습니다. 이것에 대한 예외가 있습니까?

I 사랑 별개 주어진 문제라고 예 1 , 2 , ... , N ∈ N은 : 결정하면 ∫ π - π COS ( 1 Z ) COS ( 2 Z ) ... COS ( n 개의 Z는 )$a_1, a_2, \ldots, a_n \in \mathbb{N}$

처음에이 그러나 그것은 세트의 균형 잡힌 파티션이 존재 IFF에이 정수가 0이 아닌 것을 보여주기 위해 쉽게,이 통합을 평가하기 위해 지속적인 문제처럼 보인다 이 중요한 문제가 실제로 때문에, NP- 완료.$\{a_1, \ldots, a_n\}$

물론, 나는이 적분을 평가하기위한 대부분의 수치 트릭이 한 번 실패 할 운명이라는 것을 스스로에게 확신시키기 위해 몇몇 수치 도구를 가지고 노는 것이 좋습니다. 이 충분히 커지면.$n$

"이 조합 입력이 기하학적 구조로 실현 될 수 있는지 테스트하는"형태의 연속적인 문제는 실재 의 실존 이론 , 즉 NP의 연속적인 유사체에 대해 완전하다. 특히, 이는 이러한 문제가 다항식 적으로 해결할 수있는 것이 아니라 NP- 하드임을 의미합니다. 예를 들어 주어진 그래프가 단위 거리 그래프인지, 직선 세그먼트 가장자리가 있고 주어진 수의 최대 교차 횟수를 가진 평면에서 주어진 그래프를 그릴 수 있는지 또는 주어진 의사 배열이 늘어서 선을 형성 할 수 있는지 테스트 배열.

예를 들어, 3 차원에서 다면체 장애물 중에서 가장 짧은 경로를 찾는 것은 PSPACE-complete (Canny & Reif, FOCS'87)입니다.

이것이 원래의 질문에 정확하게 대답하는 것은 아니지만, 일종의 철학적 반론의 (추론 적) 예입니다. 프리젠 테이션이 별개의 문제이지만 모든 경도는 문제의 '연속적인'측면에서 비롯됩니다.

문제는 제곱근 의 합 문제입니다. 두 개의 정수 세트 및 B = { b 1 , b 2 , … , b n } 은 ∑ m i = 1$A=\{a_1, a_2, \ldots, a_m\}$$B=\{b_1, b_2, \ldots, b_n\}$ ? (거기에 다른 공식이있다, 그러나 이것은 내가 선호하는 것입니다.)이 확실 알려져 아니지만수$\sum_{i=1}^m \sqrt{a_i}\leq\sum_{j=1}^n\sqrt{b_j}$단단하고, NP-hard 일 수도 있고 실제로 NP 외부에있을 수도 있다고 널리 알려져 있습니다 (의견에서 언급 한 바와 같이 NP-complete가 아니라고 믿을만한 훌륭한 이유가 있습니다). 현재까지 알려진 유일한 격리는 다항식 계층보다 몇 단계 높은 수준입니다. 분명히이 문제에 대한 표현은 가능한 한 불 연속적입니다. 정수 세트와 그에 대한 예 / 아니오 질문입니다. 그러나 지정된 정밀도로 제곱근을 계산하는 것은 쉬운 문제이지만 계산이 필요할 수 있기 때문에 문제가 발생합니다. 불평등을 한 방향으로 해결하기 위해 높은 (잠재적으로 초 다항식) 정확도로 이것은 놀라운 최적화 컨텍스트에서 발생하고 자체 복잡성에 기여하는 '이산'문제입니다.

불연속 문제는 일반적으로 더 어려워지는 경향이 있지만 (예 : LP와 ILP) 문제 자체가 불연속 자체는 아니지만 제약 조건이 도메인 검색 방법에 영향을주는 방식입니다. 예를 들어, 다항식 최적화는 효율적으로 수행 할 수 있지만 quartics (degree-4 polynomials)의 볼록도를 결정하는 것은 NP-hard 입니다.

어떤 식 으로든 이미 최적의 상태를 유지하더라도 자신이 최적이라는 것을 증명 하는 것은 이미 NP가 어렵다는 것을 의미합니다.

대한 있지만 일부 인기있는 문제, 그것이 정말로 사실, 둘 다 가정이 생각 - 사실이 아니다 - 당신이 최적화 문제로 정의하는 내용에 따라.

먼저 일부 정의 : 대부분의 최적화 문제는 NP의 일부 가 아닙니다 . 예를 들어 배낭 문제의 경우 : 비결정론 적 분기는 서로 다른 비결정론 적 분기에 공유 메모리가 없기 때문에 가장 가치있는 백을 구성하기 위해 비결정론을 이용할 수 없습니다. NP 는 "다 항적으로 검증 가능"(인증서 검증)으로 정의됩니다 [1, p. 34]. 이 경우 인증서는 예를 들어 bag : 비트 열입니다. 여기서 i 번째 비트가 설정되면 i 번째 항목이 bag의 일부임을 나타냅니다. 해당 백이 주어진 임계 값보다 더 가치가 있다면 실제로 다항식 시간을 확인할 수 있습니다 (이는 결정 변형입니다)), 단 하나의 백 (다항식 수의 백)을 기반으로하는 경우 해당 백이 가능한 모든 백 중에서 가장 가치 있는지를 결정할 수 없습니다. 그것은 예를 들어 NP 와 EXP 의 중요한 차이점 입니다. EXP 에서는 모든 가능한 가방을 열거하고 어떤 가방이 가장 좋은지에 대한 부기를 할 수 있습니다.

최적화 문제 의 결정 변형 은 경우에 따라 NP의 일부이며 , 극대화 향 과 결정 향을 명확하게 구분해야합니다 . 결정의 풍미에서 질문은 " 최적화 문제와 유틸리티 한계가 주어지면 유틸리티가 한계보다 크거나 같은 솔루션이 있습니까 (또는 최소화 문제를 위해 약간 수정 된 것입니다)"입니다.

또한 NP 에 의해 P의 일부가 아닌 NP 의 (가설적인) 부분을 의미 한다고 가정합니다 . P = NP 인 경우 물론 NP-complete는 여전히 존재하지만 P 와 같습니다 (@ AndrásSalamon에 의한 다항식 시간 다 대다 축소와 같은 일부 축소 개념에 대해서는 P 와만 일치). " 갭을 줄일 것입니다 귀하의 질문에 "를 줄입니다).

나는 대부분의 개별 문제가 NP- 완전하다는 것을 점점 더 인식하고 있습니다.

이제 우리가 정렬되었는지 것을 : 최적화에 많은 문제가있는 P : 최단 경로 문제 , 최대 흐름 문제 (통합 능력에 대한), 최소 스패닝 트리 및 최대 일치 . 이러한 문제는 "사소한 문제"로 보일 수 있지만 여전히 최적화 문제이며 많은 경우 구성 (및 정확성 증명)이 쉽지 않습니다. 따라서 주장에 모든 이산 문제가 NP 완료라고 주장하는 것은 아닙니다. 감안 P가 동일하지 NP , 따라서 이러한 문제가 될 수 NP 완전 .

또한 다항식 계층 구조 를 살펴볼 수 있습니다 .이 계층 구조는 다음과 같은 의사 결정 문제를 구성하는 방법을 제공합니다.$\Sigma^P_i$그러나 의사 결정 문제가 발생하면 적어도 거의 어려운 최적화 문제를 (거의) 항상 구성 할 수 있습니다 (최적화 변형이 덜 어려운 경우 먼저 최적화 변형을 호출하여 결정 변형을 해결할 수 있으며 결정을 내릴 수 있음) 해당 알고리즘의 결과에 따라).

지속적인 문제를 최적화하는 것은 거의 항상 쉽게 달성 할 수 있습니다.

NP-hard 인 인기있는 연속 문제 는 2 차 프로그래밍 입니다.

2 차 프로그래밍에서 벡터를 찾고 있습니다 $\vec{x}$ 그런 :

실제로 선형 프로그래밍 은 오랫동안 NP-hard 로 간주되어 왔지만 휴리스틱 스 ( Simplex 방법) 의 성능 이 뛰어납니다 . 그러나 Karmarkar의 알고리즘 은 P 입니다.

최적화 문제가 볼록하지 않은 객체를 처리하는 순간부터는 일반적으로 효율적인 알고리즘을 찾기가 어렵지만 불가능하지는 않습니다.

서지

[1] 계산 복잡성, 현대적인 접근 방식 , Sanjeev Arora 및 Boaz Barak