이론적 인 CS에 순수한 수학에 관한 주제가 있습니까?

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저는 이론적 인 컴퓨터 과학, 특히 근사 알고리즘의 대학원생입니다. 나는 이제 순수한 수학에 더 관심이 있다는 것을 알게되었습니다 (CS 과정보다 수학 과정을 더 많이 즐 겼기 때문에 이것을 말할 수 있습니다). 이론적 인 컴퓨터 과학 분야에서 상당히 순수한 수학 영역 (더 정확하게 말하면, CS에 대한 응용 프로그램을 고려하지 않고 순수 수학에 관심이있는 영역)이 있는지, 또는 주요 스위치를 고려하십시오. 프로그램에 이미 2 년 반이되었으므로이 시점에서 스위치가 좋은 아이디어인지 확신 할 수 없습니다.

내가 찾을 수있는 유일한 것은 상위 회의의 ​​수락 목록을 탐색하여 사소한 이론을 그래프로 만들었습니다. 그러나 그것은 내가 집중할 수있는 '지역'으로 간주되지 않습니다.

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— Scientificlens
소스
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순수한 수학과 관련된 컴퓨터 과학의 모든 영역은 순수한 수학보다 컴퓨터 과학에 의해 더 많은 동기를 부여받을 것입니다. 해밀턴 사이클 (Hamiltonian Cycles)을 고려하십시오. 이것이 논리와 관련이 있다면 순수한 수학 관점에서 여전히 우수하지 않습니까? 그러나 어떻게 HAMCYCLE을 생각하는 것보다 CS에서 더 견고해질 수 있습니까?
— Niel de Beaudrap
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"수학 코스를 더 즐 겼기 때문에 이것을 말할 수 있습니다": 이것은 이것이 귀하의 질문에 대답하기 위해 TCS에서 귀하를 귀찮게하는 것에 대한 충분한 아이디어를 제공한다고 생각하지 않습니다. TCS와 수학 커뮤니티 모두에 관심이있는 많은 것들이 있지만, 묻는 질문은 일반적으로 약간 다릅니다. 또한 그래프 사소한 이론이 왜 당신이 집중할 수있는 영역이 아닌지는 분명하지 않습니다.
— Sasho Nikolov
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어쨌든 어떤 아이디어는 : 메트릭 임베딩; 유한 아벨 리아 그룹에 대한 푸리에 분석; Markov 체인은 불연속 / 유한 상태 공간에 연결됩니다.
— Sasho Nikolov
— vzn
전환 위험과 관련하여 Academia 스택 교환 이 더 적합 할 수 있습니까?
— Clément

답변:

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다음은 기준에 맞는 세 가지 필드입니다.

  • 범주 이론 . 이것은 대부분의 순수 수학 분야에서 분명 흥미롭지 만 (기능적, 순차적) 프로그래밍 언어 이론에도 큰 영향을 미쳤습니다.

  • 논리 , 특히 증거 이론. 컴퓨터 과학과의 관계는 이름이 너무 많지만 논리는 순수한 수학의 풍부한 분야 일뿐만 아니라 수학의 기초입니다.

  • 암호 이론 이 등장 할 때까지 응용 프로그램이없는 것으로 여겨지는 "수학의 여왕"인 수 이론 .

— 마틴 버거
소스
참고 논리는 설명 복잡성 이론 (wikipedia)을 참조하십시오
— vzn
카테고리 이론 (CS에서 사용되는 것과 같은)이 여러 영역에서 기본 언어로 사용 되더라도 연구 수준에서 대부분의 수학 분야에 흥미가 있는지 확신 할 수 없습니다. 예를 들어, 범주 이론이 (일부) 대수 기하학 및 표현 이론에서 연구 수준에서 분명히 나타나더라도, 그러한 범주 이론은 내가 알 수있는 한 컴퓨터 과학에서 사용되는 것과는 매우 다릅니다.
— Joshua Grochow
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@JoshuaGrochow 일부는 사실이지만, 진행중인 작업이기 때문에 일부입니다. 보다 긴밀한 통합을 향한 힌트는 다음과 같습니다. (1) Voevodsky의 1가 기반은 논리학의 증거를 통해 동성애 이론의 경로 개념을 시도하고 통합합니다. (2) Pavlovic et al에 의한 실수의 대 수학적 이론; (3) 양자 역학의 범주 적 토대는 Baez and Stay의 "물리학, 토폴로지, 논리 및 계산 : 로제타 스톤"을 참조하십시오.
— 마틴 버거
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예 : 그래프 이론, 전산 기하학, 복잡성 이론, 조합론은 제가 CS에서 연구 한 것들입니다. 벡터 공간과 측정 이론은 이론적 인 기계 학습에도 유용 할 수 있습니다.

이론적 CS에는 훨씬 더 순수한 수학이 사용되지만 AI 및 기계 학습과 같은 뉴스를 자주 읽지 않으므로 많은 사람들이 듣지 못합니다.

나는 물리학과 순수 수학 (추상 대수와 같은 수학)에서 CS로 개인적으로 전환했으며, 흥미로운 문제를 발견하는 것을 멈추지 않았습니다.

— eng
소스
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이 목록에 Discrete Geometry를 추가하겠습니다.
— Sariel Har 22-27에
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— vzn
소스
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왜 "수학적"에 대한 인용문입니까?
— Joshua Grochow
어떤 분야에서는 질문이 제기하는 것처럼 "(T) CS"내용을 "수학적"과 구별하기가 어려울 수 있습니다. 그 문장의 끝은 "주요 연구자들이 [컴퓨터 과학자보다 거의 더 많은 수학자"입니다. " 두 분야는 여러면에서 서서히 혼합되어 있으며, 이것은 20 세기 동안 볼 수 있으며 21 세기에도 계속 증가하고 있습니다. 아마도 전체 책에 합당 할만한 융합이 있고 일부는 가까워 질 것입니다 (예 : Davis, Engines of Logic : Mathematicians and the Origin of the Computer ).
— vzn
이 문제는 "CS에 대한 응용을 고려하지 않고 순수 수학에 관심이있는 분야"라는 점에서 분명했다. 이것은 GCT에서 발생하는 수학적 문제 중 대부분은 아니지만 대부분의 경우에 해당됩니다.
— Joshua Grochow
여기에 그룹 이론 및 단어 문제에서 결정 가능한 또 다른 유사한 참조가 있습니다. 튜링 기계 TO WORD에 문제 / 밀러
— vzn
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오토마타 이론에 대한 현대의 연구 (광범위한 의미)는 흥미로운 사례입니다. 그것은 많은 수학에 의존하지만 반드시 수학의 표준 과정에서 배우는 수학의 종류는 아닙니다. 컴퓨터 과학에서 기본 목표는 부울 세미 링 라는 매우 느슨한 설명입니다.비에프2 가 중요한 역할을 .

예를 들어, 세미 그룹 (그룹도 중요한 역할을 수행함)을 사용하며 최근 몇 년 동안 유한 세미 그룹에 대한 많은 결과는 원래 오토마타 이론에 의해 동기가 부여되었습니다. Semirings는 도 (오히려 링보다) 사용됩니다 예를 들어, 열대 semiring 먼저 오토마타 이론 도입에 사용되기 전에 열대 기하학 , 수학에서 성공적인 새로운 영역입니다. 오토마타와 관련된 다른 주제로는 논리 및 유한 모델 이론 (라빈의 나무 정리를 생각할 때), 토폴로지, 이원성 및 (유사) 균일 공간 및 일부 숫자 이론 (특히, 분자 시스템 및 공식 검정력 관련 문제에 대한 질문), 확률 이론 ( 특히 Markov chains)와 게임 이론.

— 제이 핀
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비비※
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기하 복합성 이론 (GCT)에 대해 조금 더 이야기하자면, 이것은 대수 기하학과 표현 이론을 P 대 NP를 해결하기위한 장기 프로그램에 적용하는 것입니다. GCT에서 제기 된 질문은 수학 문제에 대한 심층적 인 질문으로, 일부는 100 년 이상 대수 기하학 및 표현 이론의 개척자에게 돌아갔습니다. 계산과 관련이없는 것처럼 보이지만 GCT를 통해 실제로는 밀접하게 관련되어 있음을 알 수 있습니다 계산 복잡성-그 밖의 다른 것들은 순수한 수학 (대수 기하학 및 표현 이론)에서 새로운 질문과 아이디어를 제기합니다.

— 조슈아 그로 호프
소스
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완전히 이론적 인 CS 주제는 아니지만 이론적 인 CS의 많은 결과를 사용합니다. 소프트웨어 검증에 관심이있을 수 있습니다 은 프로그램이 수행해야하는 작업을 수행하도록하는 것입니다. 이 주제의 여러 기술 중에서 특히 일부는 수학 중심입니다. 항공 전자 / 공간 / 핵무기의 많은 중요한 시스템은 버그가 없는지 확인하는 방법으로 입증되었습니다.

논리, 증명 이론, 오토마타 이론, 세트 이론 등 많은 수학적 분야가 관련됩니다.

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