그래프는 최대 1 개의 보행이있는 방향을 언제 허용합니까?

다음 문제를 고려하십시오.

입력 : 간단한 (무 방향) 그래프 .$G=(V,E)$

질문 : 모든 에 대해 최대 하나의 (지시 된) - 도보가 있는 특성을 만족시키는 의 방향이 있습니까?$G$$s,t \in V$$s$$t$

이것은 다음과 같이 표현 될 수 있습니다.

입력 : 간단한 (무 방향) 그래프 .$G=(V,E)$

질문 : 모든 에 대해 최대 하나의 ( 지정된 ) - 경로가 있는 특성을 만족시키는 의 비순환 방향이 있습니까?$G$$s,t \in V$$s$$t$

답이 "예"인 그래프 클래스는 무엇입니까? 이 문제를 다항식 시간으로 해결할 수 있습니까?

일부 관찰 :

1. 그래프가 이분법이면 답은 "예"입니다.
2. 그래프에 삼각형이 있으면 대답은 "아니오"입니다.

첫 번째 관찰은 한 파티션에서 다른 파티션으로 가장자리의 방향을 지정합니다. 두 번째 관찰은 확인하기 쉽습니다. 이것은 두 가지 잘못된 추측으로 이어졌습니다.

1. 그래프가이 분식 인 경우에만 대답은 "예"입니다. (카운터 예 : 5 사이클)
2. 그래프에 삼각형이없는 경우에만 대답은 "예"입니다 (카운터 예 : 모서리가 5 개인 모서리의 데카르트 곱)

동일하지 않은 -3SAT를 줄임으로써 NP가 완전합니다. 이것을 보려면

• 주기 의 유효한 방향은 가장자리가 방향을 번갈아 사용하는 방향입니다.$4$
• 하자 세 에지 방향성 경로, 그리고 끝점에 인접한 정도 개의 꼭지점을 추가 폼 -cycle한다. 그 다음의 배향 만 전체의 올바른 방향으로 확장 될 수있는 -cycle가있는 것들 지속적으로 향하는 경로로 배향되지된다.$P$$P$$5$$P$$5$$P$

공유 에지에서 공유 사이클을 함께 붙여서 NAE-3SAT 인스턴스의 다른 절에 속하는 변수 대한 변수 가젯을 만듭니다. 그런 다음 각 사이클에서 공유 에지의 반대쪽 모서리는 다른 모든 사이클 과 일관되게 배향 되어야합니다. 변수의 진리 값을 이러한 모서리의 일관된 방향과 연관시킵니다. 또한, 이러한 주기 각각의 유효한 방향에는 한 주기에서 다른 주기로의 경로가 없습니다.$v$$k$$k$$4$$4$$4$$4$$4$$4$-사이클을 사용하여이 가젯은 가장자리 방향에서만 상호 작용할 수 있으며 더 긴 경로가 존재하지 않습니다.

적절한 3 개의 변수 가젯의 공유 모서리 반대쪽에있는 사이클 모서리 중 3 개를 3 모서리 경로 결합한 다음 학위를 추가 하여 NAE-3SAT 인스턴스의 3 변수 절에 대한 조항 가젯을 만듭니다. -2 버텍스로 를 주기로 완성합니다. 위에서 논의 된 바와 같이,이 사이클은 3 개의 에지가 모두 지시 된 경로로서 지향되지 않는 경우에만 일관되게 배향 될 수 있으며, 이러한 배향과 관련된 실제 값이 전부가 아닌 경우에만 (올바르게 접착 될 때) 참 같은.$4$$P$$P$$5$$5$

그런데, 대부분의 일에와있는 DAG - 각 거리 - 쌍은 "multitrees", "강력 명확한 그래프"또는 "맹그로브 숲"으로, 이전에 연구되어왔다; 참조 https://en.wikipedia.org/wiki/Multitree를$s$$t$$s$$t$