RAM과 튜링 머신의 복잡성 간 격차

P의 문제만을 고려한다면, 가장 빠른 알려진 워드 -RAM 알고리즘과 특정 문제에 대한 가장 빠른 알려진 Turing machine 알고리즘 사이에 큰 차이가 있습니까? 나는 일반적인 관심의 자연 문제에 대해 넓은 차이가 있다면 특히 관심이 있습니다.

시간에 RAM 시스템에서 계산할 수있는 모든 문제는 시간 내에 Turing Machine에서 수행 할 수있는 것으로 알려져 있습니다 . 당신이 사용하는 메모리의 전체 크기가보다 더 할 수 없음을 통지 할 필요가 그건 당신이보다 더 쓰기 작업을했다는 것을 의미하기 때문에, 는 RAM 메모리, 튜링에서 뭔가를 가져올 때마다 그래서, 기계는 최악의 경우 시간이 소요되어 테이프에서 원하는 요소를 순차적으로 찾습니다. 메모리 액세스 외에도 나머지 작업에는 거의 시간이 걸립니다. 따라서 당신은 결박을 얻습니다.$T(n)$$T(n)^2$$T(n)$$T(n)$$T(n)$

아래 예는 워드 램의 문제를 해결하기 위해 을 사용 하는 알고리즘 가 1 테이프 튜링 머신 (TM 에서 을 필요로 할 수 있음을 증명합니다 )는 표시된 모든 계산을 정확하게 실행합니다 . 나는 질문이 1 테이프 TM과 관련이 있다는 것을 이해하고, 나는 이것의 응답에서만 이것을 사용합니다. Emil Jeřábek의 발언을 수정하기위한 편집입니다.$A$$O(n\log(n))$$O(n^2 \log(n)^3)$$A$

우리는 다음과 같은 더 일반적인 결론을 찾을 것 입니다. TM이 에서 RAM 의 알고리즘 에 의해 에서 해결 된 문제를 해결할 수 있음을 증명하기 위해 TM에서 를 실행 것만으로 는 충분 하지 않습니다 . 영리한 알고리즘이 필요할 수 있습니다. 오버 헤드 를 증명하려는 경우에도 동일하게 적용됩니다 . 필요할 때마다 영리한 알고리즘의 존재를 입증하는 것은 즉각적으로 멀리 떨어져있는 것처럼 보입니다. 이것은 기본적으로 TM에 대해 ( 알고리즘 ) 모든 RAM 계산 을 시뮬레이션 / 실행하여 TM 과 같은 TM 복잡성을 발표하는 다른 응답과 일치 하지 않습니다 .$O(T(n)^2)$$O(T(n))$$A$$A$$O(n\log(n))$$A$$O(T(n)^2)$ 또는 입니다.$O(T(n)n\log(n))$

문제 : 각각 비트 에 저장된 정수 의 배열 / 테이블 이 제공 됩니다 . 위치를 가진 두 번째 배열 가 주어지며 , 각각은 비트를 기록합니다 . 임의의 경우 , 우리는 정의 의 경우 MOD MOD . 그렇지 않으면 입니다. 출력 . 입력이 테이프로 제공되는 것으로 간주합니다$\texttt{tab}$$n=2k$$\log(n)$$\texttt{d}$$\log(n)$$\log(n)$$t\in[0..\log(n)-1]$$X_t=1$$\texttt{tab}[i]$$\texttt{d}[t]=\texttt{tab}[n/2+i]$$\texttt{d}[t]~\forall i\in [0..n/2-1]$$X_t=0$$\sum_{t=0}^{\log(n)-1} X_t$$n\log(n)+\log(n)\log(n)$ Emil Jeřábek의 의견을 해결하기 위해 이진수.

알고리즘 RAM의$A$ 워드 크기의 RAM 필요 = 바이너리 스트링 입력을 읽어 데이터. 그러나 데이터를 읽은 후에는 크기의 단어 만 사용할 수 있습니다 . 알고리즘 모든 을 통해 조건을 테스트하여 모든 를 계산합니다 . 의 메인 루프 는 FOR : 계산 . 총 복잡도는 (데이터 읽기) +$w=\log(n)$$O(n\log(n)+\log(n)^2)$$O(n\log(n))$$\log(n)$$A$$X_t$$O(n)$$i\in [0..n/2-1]$$A$$t=0, 1, 2, \dots \log(n)-1$$X_t$$O(n\log(n))$$O(n\log(n))$(계산 수행), 는 RAM의 에서 모두 할 수 있습니다 .$A$$O(n\log(n))$

1 테이프 TM의 알고리즘 : 1 테이프 TM$A$ 은 고정 시간이 필요하다고 주장합니다 . TM의 관점에서, 결정 것은 길이가 인 2 개의 이진 문자열의 동등성을 테스트하는 것과 같습니다 . 예를 들어, MOD 작업 MOD 는 의 비트 을 제거하는 것과 같습니다 . 이러한 경우 결정 하는 것은 길이 비트 문자열에 대한 동등성 테스트와 같습니다 . 길이가 인 두 스트링의 동등성을 테스트하는 것이 잘 알려져 있습니다.$O(n^2 \log(n)^2)$$t$$A_t$$O(n\log(n))$$\texttt{tab}[i]$$\texttt{d}[t]$$0$$\texttt{tab}[i]$$A_t$$n(\log(n)-1)/2$$m$1 테이프 TM에서 가 필요 하지만 지금은 실제로 참조를 찾을 수 없습니다. 그러나 나는 ps에 증거를 제공합니다. TM 이 의 메인 루프 를 실행하는 경우, 각각에 대해 이상을 소비 해야합니다. 입니다.$O(m^2)$$A$$O((n\log n)^2)$$t=0, 1, 2, \dots \log(n)-1$$O(n^2 \log(n)^3)$

추신. I 함께 비트 열을 해당 어떤지 테스트 표시 비트 수 없다 와 문자열에 palyndrome는 테스팅보다 더 빠를 수 (palyndrome가 적어도 취할 알려진 비트 시간). 우리는 동일성 테스트를 위해 TM 알고리즘을 수정하여 회문을 해결할 수 있습니다. 동등성 테스트 TM이 두 개의 정수로 시작한다고 가정합니다. 하나는 헤드 왼쪽에, 다른 하나는 오른쪽에 있습니다 (이것은 TM에 대한 가장 간단한 입력 양식입니다). 왼쪽 위치로의 각 이동은 오른쪽 위치로 미러링 (반사) 될 수 있습니다. 초기 TM이 (왼쪽) 위치에있을 때마다 미러링 된 TM은 (오른쪽) 위치에 있습니다. TM이 미만에서 동등성 테스트를 해결 한 경우$m$$m$$O(m^2)$$-x<0$$x$$O(m^2)$이 수정 된 미러 TM은 미만의 회문을 해결 합니다.$O(m^2)$

또한 일부 평등 테스트 TM 알고리즘이 있으며 지그재그가 필요하기 때문에 2 차 시간이 필요합니다. 예를 들어 course.cs.washington.edu/courses/cse431/14sp/scribes/ 에서 Turing Machine Example 2를 참조하십시오. lec3.pdf