학부생을위한 직관적 인 결과

일반적인 청중 대화에 대한 사람들의 직관에 반하는 결과의 예를 찾고 있습니다. 전문가가 아닌 사람들에게 "직관이 무엇을 말해 주는가?" cs / math의 학부생들에게 결과 설명을 쉽게 설명 할 수 있어야합니다. 나는 주로 컴퓨터 과학의 결과를 찾고 있습니다.

귀하의 지역에서 가장 반 직관적이고 예기치 않은 결과는 무엇입니까?

일반 청중에게는 볼 수있는 것들을 고수해야합니다 . 이론화를 시작하자마자 휴대 전화가 시작됩니다.

다음은 예제를 완성하기 위해 해결할 수있는 몇 가지 아이디어입니다.

1. 한쪽 면만 있는 표면이 있습니다 .
2. 커브는 전체 정사각형을 채울 수 있습니다 .
3. 원 이외의 일정한 폭 곡선 이 있습니다 .
4. 모든 경계점이 삼국 경이 되도록 세 가지 색상으로 평면에 색상을 지정할 수 있습니다 .

약간의 수학적 지식에 의존 할 수 있다면 더 많은 것을 할 수 있습니다.

1. 자연수만큼 홀수가 있습니다.
2. 이 지속적이고 어디 미분 가능 함수 .
3. 함수 은 모든 유리수에서 불연속적이고 모든 비이성 수에서 미분 가능합니다.$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$
4. 바나 흐 - Tarski "역설" .

프로그래머는 다음을 시도해보십시오.

1. 불가능 함수 (Functionals) : 술어 걸리는 프로그램이 p : stream → bool, stream무한 바이너리 시퀀스의 데이터 유형입니다, 반환 true의 경우에만 p α입니다 true대한 모든 스트림 α(즉 uncountably 많은입니다), 그리고 false그렇지는.

2. 부정 행위를 방지하는 신뢰할 수있는 방식으로 전화 로 포커를하는 것이 가능합니다 .

3. 한 그룹의 사람들이 다른 사람의 급여를 찾지 않고도 평균 급여를 계산할 수 있습니다.

4. 다음과 같은 속성 으로 이진 트리$T$ 를 구성 하는 프로그램이 있습니다.

   • 나무 는 무한하다$T$
   • 에서 무한 경로를 추적하는 프로그램이 없습니다$T$

한 가지 아이디어는 스트리밍 알고리즘 에서 간단한 것 입니다. 아마도 가장 좋은 후보는 다수 알고리즘입니다. 의 숫자가 하나의 숫자가 절반 이상의 시간에 발생한다는 것을 알고 있지만 어느 것을 알지 . 한 번에 두 개의 숫자 만 기억할 수 있다면 어떻게 대다수의 숫자를 찾을 수 있습니까? 그 대답은 Misra-Gries 알고리즘입니다.$s_1, \ldots, s_n$

각 단계마다 스트림에서 숫자 와 주파수 카운터$x$$f$ 합니다. 처음에 를 스트림의 첫 번째 숫자로 설정하고 주파수 f 를 1로 초기화합니다 . 그런 다음 새로운 숫자 s i가 나타날 때마다 x = s i 인지 확인합니다 . 경우 X =는 s의 I , 증가 F 에 F + 1 , 그렇지 않으면 감소 F 에 F - 1 . 않으면 F = 0 으로 설정 (X) 에 (S) $x$$f$$s_i$$x = s_i$$x=s_i$$f$$f+1$$f$$f-1$$f=0$$x$$s_i$그리고 는 1로 돌아갑니다 . 스트림의 마지막 요소 다음에 다수의 요소가있는 경우 x와 같습니다 .$f$$1$$x$

또 다른 아이디어는 제로 지식 증명 을 설명하는 잘 알려진 게임 입니다. Oded Goldreich 때문인 것으로 생각 되며 그래프 동형에 대한 제로 지식 증명과 유사합니다.

독립형 답변을 만들기 위해 여기에 게임이 있습니다. 색맹 인 친구에게 녹색에서 빨간색을 말할 수 있다고 설득한다고 가정 해보십시오. 친구에게는 두 개의 카드 덱이 있으며 한 더미는 녹색이고 다른 하나는 적색임을 알고 있습니다. 그는 당신을 보지 않고 다음을 수행합니다 : 확률 1/2로 각 덱에서 한 장의 카드를 뽑고, 확률 1/4로 왼쪽 덱에서 두 장의 카드를 뽑고, 확률 1/4로 오른쪽 데크에서 두 장의 카드를 그립니다 . 그런 다음 카드를 보여주고 같은 색인지 묻습니다. 색맹이 아닌 경우에는 매번 올바르게 대답 할 수 있습니다. 색맹 인 경우 1/2 확률로 실패합니다. 이제 게임을 10 번 플레이하면 색맹 인 동안 매번 이길 수있는 확률이 매우 낮습니다.

키커는 친구가 두 개의 카드 덱이 서로 다른 두 가지 색상을 알고 있지만 어떤 카드가 빨간색인지 어떤 녹색인지 몰랐다면 여전히 이것의 끝을 알지 못할 것입니다! 요약하면 다음과 같습니다.

1. 증거에는 무작위성이 있습니다.
2. 정보를 제공하지 않고도 자신이 아는 것을 누군가에게 설득 할 수 있습니다.

$n$$n$$2,\pi,4\pi/3,\dots$$n=6$$0$$n\to\infty$

복잡성 이론의 직관적 인 결과는 PCP 정리입니다.

$NP$$A$$A$

$i$$n$$O(n)$$O(n~lg ~n)$

MdB의 응답 / 각도에 기초하여, TCS의 기초 발견시에 반 직관적 인 결과는 결정 불가능한 자체 의 존재입니다 . 20의 차례에서 ^일 세기 힐버트, 시간의 다른 주요 수학자의 생각을 미러링, 수학이 될 수 있다고 생각 체계화 (다소 우리가 지금으로 인식 어떤 형태의 알고리즘 및 약간의 개념을 통해) "finitism" ( 유한 단계 시퀀스로서 알고리즘의 아이디어와 대략적으로 유사합니다. 그는이 노선을 따라 유명한 열린 문제를 제안했다. 그의 (그리고 다른 사람들의) 직감은 일종의 장엄한 방식으로 잘못되었습니다. 반증 명은Godels 정리 와 Turings 정지 문제 . 둘 다 초기에는 극도로 추상적 인 개념 / 결과와 당시의 수학자에게만 이해 될 수있는 길고 높은 기술 논문 / 논리 였지만 이제는 더 단순한 개념 구조로 개선되어 학부생들에게 가르쳐졌습니다. 이것들은 처음에는 같은 현상의 두 가지 측면 / 얼굴로 보지 않았지만 지금은 그런 것입니다.

힐 버츠 10 번째 문제 는 정수 디오 판틴 방정식이 결정 불가능하다는 것을 증명하기 위해 약 세기의 약 3/4에 가까웠다 . 이것은 수 이론이 극도로 어렵다는 것이 항상 알려져 있다는 점에서 반 직관적 이지만, 특정 / 식별 가능한 문제가 실제로 "해결 불가능" 이라는 개념 은 당시에는 거의 충격적이었다. 우리가 무 어스 법에 의해 하드웨어가 수십 년에 걸쳐 기하 급수적으로 증가 했음에도 불구하고 여전히 "무력에 대한 힘이없는"수퍼 컴퓨터는 여전히 수학 / TCS에서 결정 불가능한 과제로 남아 있습니다. 결정 불가능에 대한 놀라움의 일부 측면은 Klein 의 Mathematics, 확실성 상실 책에서 찾을 수 있습니다 .

명백한 것처럼 보이지만 개인적인 경험을 통해 일정한 수의 작업을 사용하여 항목 모음의 중앙값을 추정 할 수 있다는 생각은 약간 충격적입니다. 그리고 그것이 너무 기술적으로 보인다면, 선거 투표에 관한 진술로 항상 변환 할 수 있습니다 (인구 규모에 관계없이 3 % 오류가있는 표본을 얻기 위해서는 1300 명의 사람들이 필요합니다).

이것과 관련하여 물론 생일 역설 입니다.

아마도 좋은 예 (계산 복잡도와 직접 관련이없는)는 단순한 계산 모델의 Turing 보편성입니다.

예를 들어 규칙 110 은 효율적으로 (약하게) 보편적입니다.

적절하게 초기화 된 0-1 (흰색-검정색) 셀의 (무한한) 배열과 간단한 대체 규칙이 주어집니다.

우리는 "작업 컴퓨터"를 가지고 있습니다! :-)

"약한"및 "효율적인"의 정의 및 간단한 범용 튜링 기계의 다른 예를 보려면 : Turlough Neary, Damien Woods; 소형 범용 Turing 장비의 복잡성 : 설문 조사 .

또 다른 수수께끼의 예는 FRACTRAN "프로그래밍 언어" 의 Turing 완전성입니다 .

• $(p_1/q_1, p_2/q_2,..., p_n/q_n)$
• $n$$q_i$$n$$n \leftarrow n \cdot \frac{p_i}{q_i}$
• $q_i$$n$

$n$

순환 태그 시스템, ant-automata 등과 같은 다른 모델도 사용할 수 있습니다.
직관적이지 않은 아이디어는 "계산"이 거의 모든 곳에 숨겨져 있다는 것입니다. Wolfram은 그림과 텍스트로 가득 찬 1192 페이지를 더 잘 작성했습니다 그의 과학의 새로운 종류 에서 그 아이디어를 표현하십시오 (그렇습니다 ... 그렇습니다 ... 몇 가지 중요한 리뷰에도 불구하고 나는 마침내 그것을 하드 카피로 구입했습니다 :-)

내 머리 꼭대기에서 몇 가지 좋은 후보자 :

• 모든 NFA에는 동등한 DFA가 있습니다.

• $p$$p^i$$i \in \mathbb{N}$$i > 0$

• 공개 키 암호화

  • 암호화 된 인수로 함수를 호출하고 입력에 대한 정보를 공개하지 않고 원하는 결과를 수신

  • RSA 암호화

• 리드 솔로몬 코드

• 계수

  • $|\mathbb{N}| = |\mathbb{Z}| = |\mathbb{N} \times \mathbb{N}| = |\mathbb{Q}|$

  • $\{0,1\}^*$$\mathbb{R}$

  • $|S| < |\mathcal{P}(S)|$

• 보다 철학적 인 수준에서 튜링 머신이 정확하게 계산을 정의한다는 사실에 놀랐습니다.