무지개 삼각형으로 가장자리 분할

다음 문제가 NP-hard인지 궁금합니다.

입력 : 간단한 그래프, 그리고 채색의 ( 는 특정 속성을 확인하지 않습니다).$G = (V,E)$$f : E \to \{1,2,3\}$$f$

질문 : 각 삼각형이 각 색상의 한쪽 가장자리를 갖도록 를 삼각형 으로 분할 할 수 있습니까?$E$$|E|/3$

나는 색깔없이 "에지 분할"로 그래프의 문제를 알고 , (참조 NP-어려운 일부 에지 파티션의 NP-완전성 문제 )하지만 색상을 모르겠어요.$K_n$$n \geq 3$

또한 무지개로 에지 partitioniong에 대한 결과에 관심이있을 것 로, 상수. 물론이 경우 문제는 다음과 같습니다.$K_c$$c$

입력 : 간단한 그래프 및 채색 가장자리의 ( 는 특정 속성을 확인하지 않음) .$G = (V,E)$$f : E \to \{1,\ldots,c(c-1)/2\}$$f$

질문 : 각 Clique 가 각 색상의 한쪽 가장자리를 갖도록 를 로 분할 할 수 있습니까?$E$$|E|/(c(c-1)/2)$ $K_c$$K_c$

나는 그 질문의 링크를 따랐다. 그리고 그 감소는 실제로 그래프에 존재 하는 각각의 이 "무지개 "(각 색상의 정확히 하나의 가장자리를 이 되도록 가장자리가 자연 채색 인 그래프를 생성한다 . 즉, 우리는 의 문제 로 분할하는 대신 문제를 줄이기 위해 해당 용지의 축소를 쉽게 조정할 수 있습니다 .이 자연스러운 채색에 따라 각 가장자리에 색상을 지정하면 그래프를 분할 할 수 있습니다 "무지개 의"그것으로 분할 될 수 있고 경우에만 경우 모두에서의.$K_n$$K_n$$K_n$$K_n$$K_n$

이 용지 축소의 기본 구조는 다음 3 단계로 수행 할 수 있습니다.

1. 특정 그래프 사본을 여러 개 만듭니다 .$H_{n,p}$
2. 의 일부 사본을 서로 식별합니다 (예 : 여러 다른 사본 사이의 정점 / 가장자리 병합 ).$H_{n,p}$$H_{n,p}$
3. 일부 사본에서 특정 정점 / 가장자리를 제거합니다.

그래프 는 정점으로 길이 벡터 모듈로 의 집합을 갖습니다.$H_{n,p}$$n$$p$ 컴포넌트가 추가되는 $0$ 모드 $p$. 모서리는 두 구성 요소 만 다른 두 정점을 연결합니다.$+1$ 과 $-1$ 그 두 구성 요소에서.

이 그래프에 다음과 같은 색상을 제안합니다. 방향에 따라 각 가장자리에 색상을 지정합니다. 만약$x$ 과 $y$ 인접한 정점이 있고 $x-y$ 와 벡터입니다 $n-2$ 동일한 구성 요소 $0$, 하나의 구성 요소가 $1$ 하나의 구성 요소는 $-1$. 다시 말해, 모든 가장자리에$(x, y)$가 의 구성 요소에있는 옵션 0이 아닌됩니다. 이러한 각 옵션에 고유 한 색상을 할당하면 동일한 방향의 모든 가장자리가 동일한 색상을 갖도록 모든 가장자리에 색상이 적용됩니다. 에서 두 모서리 가 같은 방향이 확인하는 것은 매우 쉽습니다 . 따라서 모든 에서 무지개 입니다.${n \choose 2}$$x-y$$K_n$$H_{n,p}$$K_n$$H_{n,p}$$K_n$

축소를 수행 할 때 의 모든 사본에이 색상을 사용합니다 . 따라서 위 목록의 1 단계 끝 에서 그래프의 모든 은 무지개 입니다.$H_{n,p}$$K_n$$K_n$

위 목록의 2 단계에서 일부 정점 / 가장자리를 식별합니다. 특히 축소에서는 항상 다른 과 을 식별합니다 . 그러나이 상황 (모든 은 의 사본에서 온 )에서 모든 은 "표준 " 의 번역 또는 논문이 라고 . 따라서 서로 "플립"인 두 개의 병렬 또는 두 개의 식별 합니다. 두 경우 모두 두 식별 된 모서리$K_n$$K_n$$K_n$$H_{n,p}$$K_n$$K_n$$K$$-K$$K_n$$K_n$$K_n$평행하고 동일한 색상입니다. 예를 들어, 논문의 그림 2를 참조하십시오. 식별 된 모서리는 항상 평행입니다. 따라서 서로 다른 색상의 두 가장자리를 식별하려고 시도하지 않기 때문에 위 목록의 1 단계 끝의 채색은 2 단계 끝의 채색으로 자연스럽게 확장 될 수 있습니다. 새로운 이므로,이 단계가 끝날 때마다 모든 은 무지개 입니다.$K_n$$K_n$$K_n$

마지막으로 3 단계에서 정점 / 가장자리를 제거하면 새로운 생성되지 않습니다 . 따라서, 우리가 원하는 속성을 가지고 있습니다 : 내가 제공 한 채색 에서이 감소에 의해 생성 된 그래프의 모든 은 무지개 입니다.$K_n$$K_n$$K_n$