다항식 계층 구조 (PH)의 붕괴에 대한 충분한 조건

사실 인 경우 PH가 붕괴되어야한다는 잘 알려지지 않은 주장은 무엇입니까?

참조와 함께 짧은 상위 수준의 어설 션이 포함 된 회신을 주시면 감사하겠습니다. 나는 운없이 역 검색을 시도했다.

다항식 크기의 커널 화가 존재하면 PH의 3 차 수준으로의 붕괴를 암시하는 매개 변수화 된 복잡성 결과의 수가 증가하고 있습니다. 주요 기술은 이전 작업을 바탕으로 [1]에 제공됩니다 ([1] 참조).

간단한 예로, -Path 문제는 가장 긴 경로 문제의 매개 변수화 된 버전입니다.$k$

경로$k$
인스턴스: 그래프 및 정수 k . 매개 변수: k . 질문: G 에 길이 k 의 경로가있습니까?$G$$k$
$k$
$G$$k$

이 문제는 FPT (약간 실용적인 알고리즘 사용)에 있지만 [2]에서는 다항식 크기의 커널 ( )이 있으면 PH가 Σ P 3으로 축소됨을 보여줍니다 . (현재 프리젠 테이션은 NP ⊆ coNP / poly 또는 coNP ⊆ NP / poly가 아닌 한 음의 커널 화 결과로 표시 되므로 "다항식 커널 없음"과 같은 것을 검색하면 많은 결과를 얻을 수 있습니다.)$k$$\Sigma^{P}_{3}$$\subseteq$$\subseteq$

참고 문헌

1. HL Bodlaender, BMP Jansen 및 S. Kratsch, "교차 구성에 의한 커널 화 하한", SIAM J. Discrete Math., 28 (2014), pp. 277-305. [arXiv 버전]
2. HL Bodlaender, RG Downey, MR Fellows, D. Hermelin, "다항식 커널이없는 문제", Journal of Computer and System Sciences, 75 (8) : 423-434. 2009. [스탠포드 호스팅 버전]

다항식 계층 구조가 세 번째 수준으로 축소되는 또 다른 흥미로운 조건이 있습니다. NP- 완료 언어에 임의의 자기 감소 (비 적응)가 있다고 가정하면 다항식 계층 구조가 축소됩니다 . 참고로 : Luca Trevisan 's Notes를보십시오 . (정리 67)$\Sigma_{3}^{P}$

또 다른 흥미로운 조건은 다음과 같습니다.

우리는 근사치 가 B P P N P에 있음을 알고있다 (이제 Σ P 2 에서 B P P 는 대략 Σ P 3 에서 # 3 S A T 를 만든다 ).$\#3SAT$$BPP^{NP}$$BPP$$\Sigma_2^{P}$$\#3SAT$$\Sigma_3^{P}$

또한, 바이 토다 정리, .$PH \subseteq P^{\#P}$

이 두 결합, 우리가 얻을 : 근사 경우 계산에 해당 # 3 S T를 정확히 다음 다항식 계층 구조 축소합니다.$\#3SAT$$\#3SAT$

PH의 축소는 부울 계층 의 축소로 암시됩니다 . 원래 결과는 Kadin [1] 때문입니다. Chang and Kadin [2]에 의해

참고 문헌 :

[1] Jim Kadin, 부울 계층 구조가 축소되면 다항식 시간 계층 구조가 축소됩니다 ( SIAM Journal on Computing 17 (1988), no. 6, pp. 1263–1282, doi : 10.1137 / 0217080 .

[2] Richard Chang과 Jim Kadin, 부울 계층과 다항 계층 : 밀접한 관계 , SIAM Journal on Computing 25 (1996), no. 2, 340–354 페이지, doi : 10.1137 / S0097539790178069 .

문제에 대한 고유 한 솔루션을 계산하면 P H ( Hemaspaandra-Naik-Ogihara-Selman )가 무너지지 만이 진술을 공식화하는 방법에 대해 약간 조심해야합니다. (예를 들어, N P = U P 가 P H를 붕괴시키는 지 여부 는 알려져 있지 않습니다 .) 한 가지 공식화는 다음과 같습니다.$\mathsf{NP}$$\mathsf{PH}$$\mathsf{NP}=\mathsf{UP}$$\mathsf{PH}$

이 생길 인 가정 등 모든 3SAT 식 동안 그 φ 경우, φ가 시켰음이다 후가 아니 X 되도록 ( φ , X ) ∈ L이 경우 및 φ가 만족할이며, 다음가 고유 X 되도록 ( φ , X ) ∈ L . 그러면 P H가 무너집니다.$L \in \mathsf{NP}$$\varphi$$\varphi$$x$$(\varphi,x) \in L$$\varphi$ $x$$(\varphi,x) \in L$$\mathsf{PH}$

다른 공식화는 다음과 같습니다.

P H 붕괴를의미합니다.$\mathsf{NPMV} \subseteq_c \mathsf{NPSV}$$\mathsf{PH}$

PH가 붕괴되지 않는다고 가정하는 결과는 많이 있습니다. 하자 , 즉 P H는 붕괴하지 않습니다. 그런 다음 이러한 결과를 A 로 요약 할 수 있습니다 $A := \forall i , \Sigma^{P}_{i} \neq \Pi^{P}_{i}$$\mathbb{PH}$ B가 입증 된 결과입니다.$A \implies B$

간단한 모순으로 그러한 결과는 ˉ B 와 같습니다. 결과가 무조건 보유하지 않는 경우, 즉, 다음PH는도 축소해야합니다. 역사적으로 이러한 결과는 두 가지 목적으로 사용되었습니다.$\bar{B} \implies \bar{A}$$\mathbb{PH}$

1. 그 직관에 신뢰를 높이기 위해 우리가 (가능성이 결과는 붕괴를 의미하는 것으로, 대우 의해 동등 또는) 사실로 믿고 결과를 의미하는 것으로 보여, 붕괴하지 않습니다.$\mathbb{PH}$
2. 하나가 수락하면 해당 결과의 웹 설정하려면 그 결과의 증거를 기다릴 필요없이 붕괴하지 않습니다. 즉, 조건부 결과를 설정합니다.$\mathbb{PH}$

참고 :이 논문은 가정하는 것도 드문 일이 아니다 붕괴하지 않는 이외에 제 (일반화) 리만 가설을 예, 다른 가설. 그런 다음 반박 론은 가설 중 하나 이상이 거짓임을 단순히 보여줍니다.$\mathbb{PH}$

간결한 내용은 다음과 같습니다.

1. .$PSPACE \subseteq P/poly$
2. .$EXP \subseteq P/poly$
3. . $NP \subseteq P/log$