더 깊은 구조를 드러내는 증거

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Chernoff 경계에 대한 표준 증거 ( Randomized Algorithms 교재)는 Markov 부등식과 모멘트 생성 기능을 사용합니다. 약간의 Taylor 확장이 적용되었습니다. 너무 어렵지는 않지만 다소 기계적입니다.

그러나 결과를 이끌어내는 더 깊은 구조를 노출시키는 다른 Chernoff 바운드 증거가 있습니다. 예를 들어, 종이의 종류로 예시의 방법을 통해 이동 정보 이론적 버전있다 Impagliazzo 및 Kabanets 뿐만 아니라 산조이 다스 굽타 의해이 짧은 포스트 . 이 후자의 증명은 표준 결과의 일반화를 제공한다는 점에서 "직관적"이며 지수의 재미있는 용어가 나오는 곳을 설명합니다 (KL- 분산).

그러한 것들의 좋은 예는 무엇입니까? 보다 구체적으로, 다음 규칙이 있습니다.

성명서는 합리적으로 잘 알려져 있어야합니다 (어떤 종류의 대학원 수업에서 강의 할 내용).

교과서 또는 "일반적으로"가르치는 표준 참고 자료에 "표준"증거가 있어야합니다.

잘 알려지지 않았고, 일반적으로 가르치지 않으며,보다 일반적인 진술을 입증하거나 그 진술을 더 깊은 수학적 구조와 연결시키는 대체 증거가 있어야합니다.

두 가지 예부터 시작하겠습니다.

chernoff 경계
- "교과서"증명 : 마르코프 불평등, 모멘트 생성 기능, 테일러 확장 (MR)
- 흔하지 않고 통찰력있는 증거 : KL- 분산과 관련된 유형의 방법, 꼬리 지수
슈바르츠-지펠 펠레 마
- "교과서"증명 : 단 변량 다항식이 포함 된 기본 사례. 변수 수에 대한 유도
- "흔하지 않은"증거 : Dana Moshkovitz (및 Vognsen ) 를 통한 기하학적 인수

답변 당 하나의 예를 참조하십시오.

ps 나는 반드시 흔한 증거 를 가르쳐야 한다는 것을 암시하는 것은 아닙니다 . 직접적인 증거는 종종 학생들에게 더 쉽습니다. 그러나 "증거가 이해하는 데 도움이된다"는 점에서 이러한 대체 증명은 매우 유용합니다.

big-list proofs

— 개정
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나는 교과서에서 "흔하지 않은"증거를 보았 기 때문에 이것이 당신이 찾고있는 것이 확실하지 않지만 퀵 정렬을위한 O (n log n) 시간입니다.

"교과서"증명 : 무작위 재발 관계를 설정하고 원하는 솔루션이 있음을 유도하여 증명합니다.
"흔하지 않은"증거 : 두 요소가 비교 될 확률에 대한 간단한 공식을 찾으십시오 (d는 정렬 된 순서의 순위 간의 차이 인 2 / (d + 1)에 불과 함). 비교할 예상 쌍 수를 계산합니다.

교과서 증명은 창의적 통찰력이 덜 필요하지만, 드문 증거는 다른 알고리즘 분석에 매우 유용한 기법을 소개합니다 (예 : 계산 기하학의 무작위 증분 알고리즘).

— 데이비드 엡스타인
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3

나는 이것이 효과가 있다고 생각한다. 좋은 예입니다. 당신은 '흔하지 않은'증거가 교과서에도 있지만 여전히 그런 것이 아니라는 것이 맞습니다.

— Suresh Venkat

1

저는 10 년 넘게 "흔하지 않은"증거를 저학년들에게 가르치고 있습니다.

— Jeffε

다른 사람들이 어떻게 생각하는지 모르겠습니다. Jon Bentley는 Beautiful Code라는 텍스트에서 예상되는 빠른 실행 런타임에 대해 매우 우아한 런타임 분석을 제공했습니다. 동일한 주제 <a href=" youtube.com/watch?v=aMnn0Jq0J-E"> 여기 </ a >를 통해 그의 비디오에 액세스 할 수도 있습니다 . 이것이 바로 quicksort의 예상 런타임에 대한 "책의 분석"이라고 확신합니다

— Akash Kumar

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BPP가 에 있다는 증거인 복잡성에서 하나를 버리겠습니다 . 교과서 증거 Lautemann 때문에, 단지 적어입니다 표현을하고 간단한 확률 인수와 함께 작동을 보여줍니다. 드문 증명 : 하드 기능 (추측 맞춰, 확인 경도)와 니산-Wigderson 발생기 끼우. $\Sigma_2^p$ $\exists\forall$ $\exists$ $\forall$

— 랜스 포트 노우
소스

또한 Lautemann의 증명은 Sipser의 Gacs에 의한 Sipser의 증명 (1983)을 크게 단순화합니다.

— MS Dousti

1

"흔하지 않은"증거에 대한 언급이 있습니까, 아니면 민속입니까?

— MS Dousti

2

그 증거는 Nisan-Wigderson 논문에 있습니다.

— 랜스 포트 노우

2

이것은 "흔하지 않은 증거"입니다. 그러나이 증거의 "새로운 이해"는 무엇입니까? Lautemann의 증거가 더 밝아 졌다고 생각합니다. 여기에 뭔가 빠졌습니까?

— V Vinay

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$\sum_i a_iX_i$ $\pm 1$ $X_i$ $\sigma = \|a\|_2$ $t \ge 2$

\begin{array}{rcl} 이자형 [{(\sum_{나는} {에이}_{나는} {엑스}_{나는})}^{티}] & = & \sum_{{나는}_{1}, \dots, {나는}_{티}} (\prod_{j = 1}^{티} {에이}_{{나는}_{j}}) 이자형 [\prod_{j = 1}^{티} {엑스}_{{나는}_{j}}] \\ \leq & \sum_{{나는}_{1}, \dots, {나는}_{티}} (\prod_{j = 1}^{티} | {에이}_{{나는}_{j}} |) 이자형 [\prod_{j = 1}^{티} {엑스}_{{나는}_{j}}] \\ = & \sum_{\begin{matrix} {나는}_{1} < \dots < {나는}_{엠} \\ {아르 자형}_{1}, \dots, {아르 자형}_{엠} \\ \sum_{j} {아르 자형}_{j} = 티 \\ \forall j {아르 자형}_{j} > 0 \end{matrix}} (\binom{티}{{아르 자형}_{1}, \dots, {아르 자형}_{엠}}) (\prod_{j = 1}^{엠} | {에이}_{{나는}_{j}} |^{{아르 자형}_{j}}) (\prod_{j = 1}^{엠} 이자형 [{엑스}_{{나는}_{j}}^{{아르 자형}_{j}}]) \end{array}

$\begin{eqnarray*} \mathbf{E}\left[\left(\sum_i a_iX_i\right)^t\right] &=& \sum_{i_1,\ldots,i_t} \left(\prod_{j=1}^t a_{i_j}\right) \mathbf{E}\left[\prod_{j=1}^t X_{i_j}\right]\\ &\le& \sum_{i_1,\ldots,i_t} \left(\prod_{j=1}^t |a_{i_j}|\right) \mathbf{E}\left[\prod_{j=1}^t X_{i_j}\right]\\ &=& \sum_{\substack{i_1<\ldots< i_m\\ r_1,\ldots,r_m\\ \sum_j r_j = t\\ \forall j\ r_j > 0}} \binom{t}{r_1,\ldots,r_m}\left(\prod_{j=1}^m |a_{i_j}|^{r_j}\right)\left(\prod_{j=1}^m \mathbf{E}[X_{i_j}^{r_j}]\right) \end{eqnarray*}$

$r_j$ $0$ $1$ $X_i$ $G_i$ $r_j$ $0$ $r_j$ $1$

이자형 [{(\sum_{나는} {에이}_{나는} {엑스}_{나는})}^{티}] \leq 이자형 [{(\sum_{나는} | {에이}_{나는} | 지_{나는})}^{티}]

$\mathbf{E}\left[\left(\sum_i a_iX_i\right)^t\right] \le \mathbf{E}\left[\left(\sum_i |a_i|G_i\right)^t\right]$

$2$ $\sum_i |a_i| G_i$ $\|a\|_2$ $t$ $\|a\|_2^t \cdot t! / (2^{t/2} \cdot (t/2)!)$ $\|a\|_2^tt^{t/2}$

피 아르 자형 [| \sum_{나는} {에이}_{나는} {엑스}_{나는} | > λ] < 2^{영형 (티)} \cdot λ^{- 티} \cdot ” 에이 ”_{2}^{티} 티^{티 / 2}

$\mathbf{Pr}\left[\left|\sum_i a_iX_i\right| > \lambda\right] < 2^{O(t)}\cdot \lambda^{-t}\cdot \|a\|_2^t t^{t/2}$

t = λ^{2} / (C \cdot ‖ a ‖_{2}^{2})

$t = \lambda^2 / (C\cdot \|a\|_2^2)$

C

$C$

e x p (- Ω (λ^{2} / ‖ a ‖_{2}^{2}))

$\mathrm{exp}(-\Omega(\lambda^2 / \|a\|_2^2))$

X_{i}

$X_i$

— 젤 라니 넬슨 2 개정
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$A$ $r_i$ $i$ $A$

\prod_{나는} ({아르 자형}_{나는}!)^{1 / {아르 자형}_{나는}} .

$\prod_i (r_i!)^{1/r_i}.$

— 티모시 차우
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