오류 확률이 기하 급수적으로 무작위 화 된 알고리즘은 무엇입니까?

랜덤 알고리즘이 $r$ 랜덤 비트를 사용한다고 가정하자 . 예상 할 수있는 가장 낮은 오류 확률 (오류가 0 인 결정적 알고리즘에 미치지 )은 $2^{-\Omega(r)}$ 입니다. 어떤 무작위 알고리즘이 그러한 최소 오류 확률을 달성합니까?

생각 나는 몇 가지 예는 다음과 같습니다.

예를 들어, 멤버쉽을 확인할 수있는 세트의 크기를 추정하려는 샘플링 알고리즘. 검사 할 요소를 무작위로 무작위로 샘플링하면 Chernoff 경계는 기하 급수적으로 작은 오차 확률을 보장합니다.
최소 스패닝 트리를 계산하기위한 Karger-Klein-Tarjan 알고리즘 이 알고리즘은 1/2의 확률로 각 모서리를 선택하고 샘플에서 MST를 재귀 적으로 찾습니다. Chernoff를 사용하여 기하 급수적으로 2n + 0.1m의 가장자리가 나무보다 더 나을 것 같지 않다고 주장 할 수 있습니다 (즉, 나무 가장자리 중 하나 이상을 선호합니다).

다른 예를 생각할 수 있습니까?

아래의 Andras의 대답에 따르면, 실제로 모든 다항식 시간 알고리즘은 기하 급수적으로 작은 오류 확률 로 느린 다항식 시간 알고리즘 으로 변환 될 수 있습니다 . 저는 가능한 효율적인 알고리즘에 중점을 둡니다. 특히, 내가 제시 한 두 가지 예 에는 문제를 해결하는 결정 론적 다항식 시간 알고리즘이 있습니다. 무작위 알고리즘에 대한 관심은 효율성 때문입니다.

randomized-algorithms

— 다나 모시 코 비츠
소스

완전한 답은 아니지만 무작위 수치 선형 대수학에 대한 연구가 있습니다. youtube.com/watch?v=VTroCeIqDVc

— 아기 용

아마도 그것을 예상 할 수는 없지만 모든 실수에 대해 (아직 "0 오류로 결정 론적 알고리즘에 미치지 못함 ")을 확실히 기대할 수 있습니다.

c

$c\hspace{-0.02 in}$ , 만약

c < 1

$\: c<1 \:$ 그런 다음 알고리즘이 있습니다

$\hspace{.34 in}$ 에러 확률이

2^{- c \cdot r}

$2^{-\hspace{.01 in}c\cdot r}\hspace{-0.03 in}$ .

$\:$ 나는 다항식 아이덴티티 테스트 가 그런 문제 라고 생각 합니다.

$\hspace{.49 in}$

@RickyDemer 귀하의 의견을 이해하지 못합니다. PIT에 대한 일반적인 무작위 알고리즘에는 임의성이 지수가 아닌 오류가 있습니다. 무슨 소리 야? BPP 문제에 대해 그러한 알고리즘이 존재할 수 있다고 말하고 있습니까?

— Sasho Nikolov

이제 PIT가 내가 설명한 클래스에 있음을 보여줄 방법이 실제로 없다는 것을 알았습니다.

$\:$ 다른 한편으로,

를

에서 수퍼 다항식 으로 만드는 것 (즉, 길이 (S)를 길이 (d)의 수선으로 만드는 것)은 Schwartz-Zippel lemma에 충분할 것입니다

S

$S$

d

$d$

$\:$ (계속 ...)

$\;\;\;\;$

많은 확률 적 방법 구성에는 그러한 행동이 있습니다. 예를 들어, 임의의 이진 문자열 집합을 선택하고 가장 가까운 쌍을 찾으면

보다 작은 거리에 두 개의 문자열이있을 확률 은 매우 작습니다. -------------------------------------------------- ----------------------- 아래 BPP 응답의 정신 : N 정점 및 등속도 익스팬더 감안

로 표시된 정점은 길이의 랜덤 워크의 가능성

현저한 정점 놓치지는

, 만약

n / 4

$n/4$

n / 2

$n/2$

O (t)

$O( t )$

2^{- Ω (t)}

$2^{-\Omega(t)}$

t = Ω (\log n)

$t = \Omega( \log n)$

— Sariel

답변:

Impagliazzo와 Zuckerman은 BPP 알고리즘이 랜덤 비트를 사용 하여 최소 2/3의 정확성 확률을 달성 한 경우 확장 그래프에 랜덤 워크를 적용하면 정확성 확률로 향상 될 수 있음을 증명했습니다 (FOCS'89, 여기 참조 ). 의 사용 랜덤 비트. ( 참고 : 저자는 초록에서 특정 상수 2/3를 사용하지만 1/2보다 큰 다른 상수로 대체 할 수 있습니다.) $r$ $1-2^{-k}$ $O(r+k)$

우리가 걸리는 경우 있음이 수단은 어떤 일정한 오차 확률 달성 BPP 알고리즘 이용하여, 랜덤 비트는, (비 사소 할 수있다)를 오차 확률 갖도록 개선 . 따라서 (내가 무언가를 잘못 이해하지 않는 한 BPP의 모든 문제에 대해 의 오차 확률을 얻을 수 있습니다. $k=r$ $< 1/2$ $r$ $2^{-\Omega(r)}$ $\leq 2^{-\Omega(r)}$

— 안드라스 파라고
소스

이러한 증폭 기술의 문제점은 알고리즘 속도가 느려진다는 것입니다. 새로운 알고리즘은 O (r) 임의의 비트 만 사용할 수 있지만 실행 시간은 r 배 (원래 런타임)입니다. r이 입력 크기 n에서 적어도 선형 인 경우 (보통), 인수 n만큼 알고리즘을 느리게합니다. 그것은 대부분의 알고리즘

— 전문가

이것이 당신이 찾고있는 것이 확실하지 않지만 관련이 있습니다.

임의의 비트 소수 를 찾고 싶다고 가정 해보십시오 . 일반적인 알고리즘은 임의의 (홀수) 비트 정수 를 선택하고 라운드에 대해 Miller-Rabin 원시성 테스트를 실행하고 가능한 소수가 발견 될 때까지 반복합니다. 이 절차가 복합 수를 반환 할 확률은 얼마입니까? 이 확률을 합니다. $k$ $k$ $t$ $p_{k,t}$

Miller-Rabin 원시성 테스트의 표준 분석은 라운드가 최대 의 실패 확률을 제공함을 보여줍니다 . 이것은 소수 정리와 함께 $t$ $4^{-t}$

p_{k, t} \leq O (k \cdot 4^{- t}) .

$p_{k,t} \leq O(k\cdot 4^{-t}).$

그러나 임의 입력에 대해 Miller-Rabin 테스트를 실행하고 있으므로 평균 대소 문자 오류 보장을 사용할 수 있습니다. 우리는 훨씬 더 나은 바운드를 얻습니다. 특히, , $t=1$ 다시 말해, 우리는단 한 번의테스트반복으로기하 급수적으로 작은 실패 확률을 얻습니다!

p_{k, 1} \leq 2^{- (1 - o (1)) \frac{k \ln \ln k}{\ln k}} \leq 2^{- \tilde{Ω} (k)} .

$p_{k,1} \leq 2^{-(1-o(1))\frac{k \ln\ln k}{\ln k}} \leq 2^{-\tilde\Omega(k)}.$

자세한 내용은 Erdös and Pomerance (1986) , Kim and Pomerance (1989) 및 Dåmgard, Landrock 및 Pomerance (1993) 를 참조하십시오.

$O(k^2)$ $O(k)$

— 토마스는 모니카를 지원합니다
소스