의 뚜렷한 차이 수

연구 중에 다음과 같은 결과가 발생했습니다.

$lim_{n \to \infty} E [\frac{# {| a_{i} - a_{j} |, 1 \leq i, j \leq m}}{n}] = 1$ $\lim\limits_{n\to \infty} \mathbb{E}\left[ \frac{\#\{|a_i-a_j|,1\le i,j\le m \}}{n} \right] = 1$ 여기서 $m=\omega(\sqrt n)$ 및 $a_1,\cdots,a_m$ 은 에서 임의로 선택됩니다 $[n]$ .

참조 / 직접 증거를 찾고 있습니다.

MO에 Crossposted

reference-request co.combinatorics pr.probability

— 주 카오
소스

경우

m = \sqrt{n}

$m = \sqrt{n}$ , 사용자가 얻을 수있는 다른 차의 최대 수는

m (m - 1) / 2 < n / 2

$m(m-1)/2 < n/2$ . 따라서

보다 빠르게 성장 하려면

이 필요 합니다. 내가 할 일은 숫자

가 차이 가 아닌 확률을 계산하려고 시도 하는 것입니다.

m

$m$

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

d

$d$

d = | a_{i} - a_{j} |

$d = |a_i - a_j|$

— 피터 쇼어

@ 짧은 : 감사합니다, 나는 질문을 업데이트했습니다. 그리고 실제로

E (\sum x_{i}) = \sum E (x_{i})

$\mathbb E(\sum x_i)=\sum \mathbb E(x_i)$ 이후 특정 차이

를 계산하는 것이 더 쉽습니다

d

$d$ .

— Zhu Cao

@ZhuCao, "

에서 무작위로

m

$m$ 정수

선택하십시오"라고 말할 때 정확히 어떤 분포를 의미합니까? iid 유니폼

이라고 가정했습니다 .

a_{1}, . . ., a_{m}

$a_1,...,a_m$

[1, n]

$[1,n]$

{1, \dots, n}

$\{1,\dots,n\}$

— usul

@Andras 아니오, 그렇지 않습니다. 예를 들어, 숫자

1

$1$ 선택하지 않으면 (0에서 멀어 질 확률로 발생) 차이

n - 1

$n-1$ 을 표시 할 수 없으며

D_{n} < n

$D_n<n$ 입니다. 그러나 왜 그럴 필요가 있습니까? 이 질문은

의 기대치

D_{n} / n

$D_n/n$ 가 1에 가까워

D_{n}

$D_n$ 은 확률이 1 일

아니라고 요구합니다 .

— James Martin

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— DW

주어진 이라고 가정하십시오 $m=\omega(\sqrt{n})$ .

수정하십시오 . 과 함께 을 고려할 것 입니다. 목표는 확률이 인 이 차이 집합에 포함되어 있음을 보여주는 것입니다 . $\epsilon>0$ $r\in[1,n]$ $r<(1-\epsilon)n$ $n\to\infty$ $r$

먼저 집합 . 다수의 와 그러한 주위 기대 이항이다 . 따라서 가능성이 높으면 이러한 의 수는 이상 이며 입니다. 그런 다음 와 같이 높은 확률로 (표시하기 어려운 "운동으로 남김"), 세트 크기는 입니다. 이 "좋은 이벤트", 즉 대해 를 작성하겠습니다 . $A=\{a_i:i<m/2\}\cap[1,\epsilon n]$ $i$ $i<m/2$ $a_i<\epsilon n$ $\epsilon m/2$ $n\to\infty$ $i$ $\epsilon m/4$ $\omega(\sqrt{n})$ $n\to\infty$ $A$ $\sqrt{n}$ $G$ $|A|\geq\sqrt{n}$

실제로 보유, 즉 대해 보다 작은 이상의 값이 있다고 가정합니다 . 이러한 각 값에 대해 정확히 더 큰 값 이 있습니다. 이제 대한 값을 고려하십시오 . 이들은 독립적이며 각각 은 세트 의 요소에서 거리에있을 가능성이 적어도 입니다 . 차이 이 생성 되지 않을 확률 은 최대 $G$ $\sqrt{n}$ $a_i$ $\epsilon n$ $i<m/2$ $k\in [1,n]$ $r$ $a_i$ $i\geq m/2$ $\sqrt{n}/n=1/\sqrt{n}$ $r$ $A$ $r$ $(1-1/\sqrt{n})^{m/2}$ 이후 로 0이됩니다 . 따라서 실제로 보유하지만 크기 차이가 존재 하지 않을 확률 은 로 0이되는 경향이 있습니다. $n\to\infty$ $m=\omega(\sqrt{n})$ $G$ $r$ $n\to\infty$

따라서 (균일하게 ) 이 차이 집합에 포함될 확률 은 로 1이됩니다 . 따라서 기대치의 선형성을 사용하여 이후 임의로 원하는 한계는 1이다. $r<(1-\epsilon)n$ $r$ $n\to\infty$

\underset{n \to \infty}{lim inf} E [\frac{# {| a_{i} - a_{j} |, 1 \leq i, j \leq m}}{n}] \geq 1 - ϵ .

$\liminf \limits_{n\to \infty} \mathbb{E}\left[ \frac{\#\{|a_i-a_j|,1\le i,j\le m \}}{n}\right] \geq 1-\epsilon.$

ϵ

$\epsilon$

— 제임스 마틴
소스

식에서 각 차이를 독립적으로 처리 하고 있습니까? 그렇다면 적절합니까?

1 - (1 - ϵ / n)^{ω (n)}

$1-(1-\epsilon/n)^{\omega(n)}$

— usul

@ 제임스 오, 이제 내가 그 놓친 곳을 봅니다 . 고맙습니다.

n

$n$

— Daniel Soltész 2016 년

@ usul : 실제로, 사과, 나의 주장은 부주의하고 불완전했다. 나는 그것을 확장했습니다-지금 그것은 물을 보유하고 있다고 생각합니다.

— James Martin