몇 개의 동전 던지기를 사용하여 편향 동전 찾기

연구 중에 다음과 같은 문제가 발생했으며 놀랍게도 깨끗합니다.

당신은 동전의 원천이 있습니다. 각 동전에는 편견, 즉 "머리"에 떨어질 확률이 있습니다. 각 코인에 대해 독립적으로 최소 0.9의 바이어스를 가질 확률은 2/3이며 나머지 확률로 바이어스는 [0,1]의 임의의 숫자 일 수 있습니다. 당신은 동전의 편견을 모른다. 어느 단계에서나 할 수있는 것은 동전을 던져 결과를 관찰하는 것입니다.

주어진 N를 들어, 작업은 바이어스 확률을 최소한으로 적어도 0.8 동전을 발견하는 . O (n) 동전 던지기 만 사용하여 그렇게 할 수 있습니까? $1-\exp(-n)$

ds.algorithms pr.probability

— 다나 모 쉬코 비츠
소스

이후, 나에게 매우 가능성이 보인다

토스는 주어진 동전 자신감 높은 바이어스인지 여부를 결정하기 위해 단지 필요한 것으로 보인다

. (우리는뿐만 아니라 각 동전 편견이 있다고 가정 할 수 있습니다 중

또는

.) 당신보다 더 나은 무엇을해야합니까

토스?

O (n)

$O(n)$

1 - \exp (- n)

$1-\exp(-n)$

0.9

$0.9$

0.8 - ϵ

$0.8-\epsilon$

O (n^{2})

$O(n^2)$

— usul

수학을 확인하지는 않았지만 다음 아이디어는 유망한 것으로 보입니다. 각 동전에 대해 (연속적으로) 다음 테스트를 수행하십시오. 매개 변수 선택

말할

와 동전을 사용하여 라인에 랜덤 워크 (random walk)를 수행합니다. 에서는 각 단계

멀리 드리프트 경우,

보다 작은

코인을 버린다. 바이어스 동전 0.9 일정한 확률이 테스트를 통과해야하고, 실패 동전 실패 O 후의 기대 (1)과 같이, 매우 가까운 바이어스 동전 제외한

. 각 코인에 대해

와

사이에서 임의로

를 선택 하면 문제가 해결 될 수 있습니다.

p

$p$

0.85

$0.85$

i

$i$

0

$0$

p \cdot i

$p \cdot i$

p

$p$

p

$p$

.84

$.84$

.86

$.86$

— daniello

겠습니까

괜찮을?

토스 솔루션을 알고 있습니까?

O (n \log n)

$O(n\log n)$

o (n^{2})

$o(n^2)$

— Robin Kothari 2016 년

관찰 # 1 : 모든 코인이 최소 0.9 또는 최대 0.8의 바이어스를 가짐을 알고 있다면 O (n) 토스를 사용하여 확률이 1-exp (-n) 인 확률이 0.9 이상인 코인을 찾을 수 있었을 것입니다. : i = 1,2,3, ...에 대해 동전을 가져와 동전을 2 ^ i 번 던지고 머리의 비율이 0.89 이상인지 확인합니다. 그렇지 않은 경우 새 동전으로 다시 시작하십시오. 핵심 정리 : i 단계에서 다시 시작하면 2 ^ {i + 1} 미만의 코인 토스가 있었고 프로브는 최대 exp (-\ Omega (i))입니다.

— Dana Moshkovitz 2016 년

O (nlogn) 플립이 필요하고 충분할 가능성이 있지만, 아직 이에 대한 증거는 없습니다.

— Dana Moshkovitz 2016 년

$O(n \log n)$

$1-\exp(-n)$ $N$ $2$ $100n$ $200n$ $n$ $C$ $N$ $C$

$i=1,\dots,\log N$
$C$ $D_i = 2^i 10^{10}$
$N/2^i$

증명은 몇 개의 Chernoff 경계를 기반으로합니다. 주요 아이디어는 매번 후보자 수의 절반이되어 각 코인의 두 배에 달하는 돈을 줄 수 있다는 것입니다.

— 카스퍼 그린 라슨
소스

(1) 증거를 더 자세하게 기록하는 것이 좋을 것입니다.이 문제의 어려움 중 상당 부분은 Chernoff 경계에 임계 값을 배치 할 위치에 있습니다 (0.9 바이어스 동전에서 몇 개의 헤드를 볼 수 있습니까?) . (2) nlogn 동전 던지기가 필요하다는 것을 보여줄 수 있습니까?

— Dana Moshkovitz 2016 년

미묘한 점은 다음과 같습니다. n 코인으로 시작하고 n에서 prob exp small을 제외하고 0.9의 바이어스 0.6n 이상의 코인이 있습니다. 이제 0.9 바이어스 코인이 경쟁을 잃을 것이라는 지속적인 가능성이 있습니다 .1. 바이어스가 0.9-1 / log 인 동전 10 개 n. 바이어스 동전 <0.8이 남을 때까지 선택한 코인의 바이어스가 각 반복마다 저하되는 유사한 방식으로 계속하십시오.

— Dana Moshkovitz 2016 년

O (n)

$O(n)$

참조 주셔서 감사합니다! 한 번에 필요한 동전 던지기의 최대 수에 관심이 있으며,이 경우 n ^ 2 하한을 나타냅니다. 그러나 그들이 생각하는 문제는 저와 다릅니다. 그들은 n 개의 동전을 가지고 있으며, 가장 편향된 동전 만있을 수 있으며, 비슷한 편견을 가진 동전을 찾고 싶습니다. 내 설정에서 나는 수용 가능한 편견을 가진 0.6n 이상의 동전이 있음을 알고 있습니다 (n이 기하 급수적으로 작은 경우는 제외).

— Dana Moshkovitz 2016 년

O (n)

$O(n)$

m = Θ (n)

$m=\Theta(n)$

Θ (\cdot)

$\Theta(\cdot)$

0.85 m

$0.85m$

1 - \exp (- n)

$1-\exp(-n)$

2 / 3

$2/3$

i

$i$

(1 / 2)^{i}

$(1/2)^i$

\sum_{i = 0}^{\infty} m / 2^{i} = O (m) = O (n)

$\sum_{i=0}^\infty m/2^i = O(m) = O(n)$