가족이 스 퍼너 가족인지 여부를 결정하는 복잡성

우리는 {1, ..., n} 의 부분 집합으로 구성된 가족을받습니다 . 가 Sperner 제품군 인지를 결정하는 복잡성에 대한 사소한 하한값을 찾을 수 있습니까? 사소한 하한은 이고 나는 그것이 타이트하지 않다는 것을 강력하게 의심합니다.$\mathcal{F}$$m$$\mathcal{F}$$O(n m)$

그 리콜 세트 Sperner 계열 인 경우에 대한 및 의 ; 는 및 Y \ nsubseteq X를 의미 합니다.$\mathcal{S}$$X$$Y$$\mathcal{S}$$X \ne Y$$X \nsubseteq Y$$Y \nsubseteq X$

행렬 곱셈으로 해결할 수 없습니까? 세트를 , , , . 매트릭스 인출 수 여기서 행렬 경우 그렇지 않으면 0 및 수 m × n 개의 매트릭스 여기서 B의 난의 J = 1 경우 j는 ∉ S I 달리 0 . 이제, F의 한 세트가있는 경우에만 A B T 에 0 항목이 있습니다.$S_1$$S_2$$\ldots$$S_m$$A$$m \times n$$A_{ij}=1$$j \in S_i$$B$$m \times n$$B_{ij}=1$$j \notin S_i$$AB^T$$0$$\mathcal{F}$ 다른에 포함되어 있습니다.

따라서 m = θ ( n ) 인 경우에 하한 을 증명하면 행렬 곱셈에 대해 동일한 하한을 증명 한 것입니다. 이것은 유명한 공개 문제입니다.$\Omega(n^{2+\epsilon})$$m = \theta(n)$

나는 그것에 대해 많이 생각하지 않았지만, 당신이 매트릭스 곱셈의이 특별한 경우가 본질적으로 일반적인 경우만큼 어렵다는 것을 증명할 수있는 방법을 보지 못했다. 실제로 하한이 필요한 경우 행렬 곱셈 문제를 해결하지 않고 증명할 수있는 유일한 희망 인 것 같습니다.

플러스 측면에서 이것은 를 취하는 순진 알고리즘보다 나은이 문제에 대한 알고리즘을 제공합니다 .$\theta(m^2n)$